Integrabilidad local de la convolución de una función con una distribución

Question

Dejemos que $G_n$ sean las siguientes distribuciones para $n\geq3$ (para $n=2$ es sólo una función) en $\mathbb{R^n}$ (las soluciones fundamentales de la ecuación de Laplace en $\mathbb{R^n}$ ):

$$G_n=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2 \pi} \cdot \log \left \| x \right \|, \; \; \; n=2 \\ \frac{\left \| x \right \|^{2-n}}{(2-n) \sigma_{n-1}}, \; \; \; n \geq 3 \end{matrix}\right.$$

Dónde $\sigma_{n-1}$ es la superficie del radio unitario $n$ -Esfera.

Si f $\in L^1(\mathbb{R^n})$ para $n\geq 3$ y $g(y)=f(y) \cdot \log(\left \| y \right \|) \in L^1(\mathbb{R^2})$ para $n=2$ ¿puedo obtener alguna pista sobre cómo mostrar que $U=G_n \ast f$ es localmente integrable en $\mathbb{R^n}$ para cualquier $n \geq 2$ ?

Answer 1

Al principio, debe aclarar que $G_n(x) = C_n ||x||^{2-n}$ es la solución fundamental de la ecuación de Laplace. Entonces $G_n\ast f$ es una función continua de $x$ por lo que definitivamente es integrable localmente.