Deje $K \subset F$ campos. La prueba de que $F^n$ $F \,\otimes K^n$ son isomorfos como $F-$espacios vectoriales

Question

Deje $F$ $K$ ser campos que $K \subset F$. Podemos considerar el producto tensor $F\, \otimes \, K^n$ $F-$espacio vectorial con las operaciones:

$$ \lambda (a \otimes v) = (\alpha a \otimes v), \, \forall a \in F, \, \forall a\otimes v \in F\,\otimes \, K^n. $$

Cómo puede uno mostrar que $F^n$ $F \,\otimes K^n$ son isomorfos como $F-$espacios vectoriales?

He intentado de la forma canónica $\lambda \otimes (x_1,...,x_n) \in F \, \otimes \, K^n \mapsto (\lambda x_1,...,\lambda x_n) \in F^n$. Sin embargo, no podía prueba de que esta transformación es isomorfismo.

Ayuda?

Answer 1

Deje $x_i$ ser un bsais de $V=K^n$. Entonces los elementos de a $F\otimes V$ son de la forma $$\sum \lambda_i\otimes x_i.$$ Mapping this to $(\lambda_1,\cdots ,\lambda_n)$ es un isomorfismo.