Hay una manera de comparar el crecimiento de las funciones de $ f(n) = n ^ {\sin(n)} $ $ g(n) = n ^ {1/2} $ en términos de $ O, o, \Omega, \omega, \Theta $ ?
Periódicamente, $ f(n) $ se mantiene por encima y por debajo de $ g(n) $ y yo no podía pensar en cualquier multiplicativo constante que puede ayudar aquí. Los pensamientos?
Gracias de antemano!
Hay infinitamente muchos enteros $n$ tal que $\sin n\gt\frac{\sqrt{3}}{2}\gt \frac{1}{2}$.
Por la nota que $n+1$ difiere de $n$ $1$ radián, un poco por debajo de $60$ grados. Así infinidad de $n$ caída de entre el $2\pi k+\frac{\pi}{3}$ $2\pi k+\frac{2\pi}{3}$ donde $k$ rangos de los enteros positivos. En ese intervalo, la función seno es mayor que $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Añadido: El de arriba muestra que para cualquier constante positiva $c$, hay infinitamente muchos) $n$ tal que $n^{\sin n}\gt cn^{1/2}$.
Esto es debido a que para una infinidad de $n$,$\frac{f(n)}{g(n)}\gt n^{(1/2)(\sqrt{3}-1)}$.
Por lo tanto $n^{\sin n}$ no $O(n^{1/2})$.
La otra dirección es fácil, $n^{\sin n}\lt 1$ para infinidad de $n$, lo $n^{1/2}$ no $O(n^{\sin n})$.
$f(n)=O(n)$, debido a $|f(n)| \le 1\cdot|n|$ todos los $n$.
$g(n)=O(\sqrt n)$, debido a $|g(n)| \le 1\cdot|\sqrt n|$ todos los $n$.
$f(n)\ne O(\sqrt n)$, debido a que para cualquier $M$ hay al menos un $n$ tal que $|n^{\sin n}| > M|\sqrt n|$.
En otras palabras, $f(n)$ tiene una tasa de crecimiento mayor que $g(n)$.
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