trigonometría ecuación, $[\cos(2x)]^2-\sin(2x)=1$

Question

Traté de resolver esta ecuación: $[\cos(2x)]^2-\sin(2x)=1$

Tengo respuesta diferente del libro. la respuesta en el libro: $x=-45+180k$ , $x=90k$

Estoy en lo cierto? $x = -45+180k$ es igual a $x= 135+180k$ ? ¿Cómo puedo comprobar si es el mismo? O tal vez hice un error? por favor ayuda

\begin{align*} [\cos(2x)]^2-\sin(2x) & = 1\\ -\sin(2x)& = 1-\cos(2x)^2\\ -\sin(2x)& = \sin(2x)^2\\ -\sin(2x)-\sin(2x)^2 & = 0\\ \sin(2x)+\sin(2x)^2 & = 0\\ \sin(2x)[1+\sin(2x)] & = 0 \end{align*}

\begin{align*} \sin(2x) & =0 & 1 + \sin(2x) & = 0\\ 2x & = 180k & \sin(2x) & = -1\\ x & = 90k & 2x & = 270+360k\\ & & x & = 135+180k \end{align*}

Answer 1

$$\cos²(2x)-\sin(2x) = 1$$

$$-\sin(2x)= 1-\cos²(2x)$$

$$-\sin(2x)=\sin²(2x)$$

$$0= \sin²(2x)+\sin(2x)$$

$$\sin(2x)(\sin(2x)+1)=0$$

A continuación, se obtienen dos ecuaciones:

$$\sin(2x)=0$$

y

$$\sin(2x)+1=0$$

$$\sin(2x)=\sin (180)$$

y

$$\sin(2x)=\sin(270)$$

De la $$\sin(2x)=\sin(180)$$, usted puede obtener la solución:

$$2x=180+k.360$$ or $$x=90+k.180$$

y

$$2x= k.360$$ or $$x= k.180$$

De la $$\sin(2x)=\sin(270)$$, usted puede obtener la solución:

$$2x=270+k.360$$ or $$x=135+k.180$$

y

$$2x=(180-270)+k.360$$ or $$x= -45+k.180$$

Así, la solución:

$x=k.180$

$x=90+k.180$

$x=135+k.180$

$x=-45+k.180$