Una identidad de Grassmann-Variable de Wikipedia

Question

He encontrado esta identidad en Wikipedia: $$\int\exp\left[\theta^T A\eta+\theta^T J+K^T\eta\right]d\theta d\eta =\det A\exp\left[-K^TA^{-1}J\right]$$

donde las variables de integración son variables de Grassmann.

Desgraciadamente la página de Wikipedia da poco contexto, y no tengo claro si $K$ y $J$ también se supone que son variables de Grassmann.

¿Alguien sabe cómo probar esta identidad? Gracias de antemano.

Answer 1

Para cualquier número entero $n > 0$ y las variables de Grassmann $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ en $\mathbb{C}$ .

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ abarcados por $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ .

Una función sobre $\eta_k$ puede verse como un elemento del álgebra exterior sobre $V$ .
(con el operador $\wedge$ suprimido cuando se escribe su fórmula).

$$f : \text{ function over } \eta_k \quad\longleftrightarrow\quad f \in \Lambda(V) = \bigoplus_{\ell=0}^n \Lambda^\ell (V) $$ Ampliar $f$ en sumas de productos exteriores de $\eta_k$ ,

$$f(\eta) = a_0 + \sum_{1\le i_1 \le n} a_{i_1} \eta_{i_1} + \sum_{1\le i_1 \le i_2 \le n } a_{i_1i_2} \eta_{i_1} \wedge\eta_{i_2} + \cdots + a_{12\ldots n} \eta_1 \wedge \cdots \wedge \eta_n $$ Hasta un signo, la integral de Grassmann sobre $f$ es el coeficiente $a_{123\dots n}$ frente a $\eta_1 \wedge \cdots \wedge\eta_n$ .

$$\int f(\eta) d\eta \stackrel{def}{=} a_{12\ldots n}$$

Dejemos que $X = \bigoplus_{\ell=0}^{n-1}\Lambda^\ell(V)$ sea la colección de $f(\eta)$ cuyo $a_{12\cdots n} = 0$ .

Cuando sustituimos $\eta_k$ por $\eta_k + b_k$ para algunos $b_1,\ldots, b_n \in \mathbb{C}$ , elemento $f(\eta)$ en $X$ se asignan al elemento $f(\eta + b)$ que también pertenece a $X$ . Bajo la misma transformación, $\eta_1\wedge \cdots \wedge \eta_n$ se asignan a $$(\eta_1 + b_1)\wedge \cdots \wedge (\eta_n + b_n) = \eta_1 \wedge \cdots \eta_n + ( \cdots )$$ por un poco de lío $(\cdots) \in \bigoplus_{\ell=0}^{n-1}\Lambda^\ell(V)$ . En ambos casos, el coeficiente $a_{12\cdots n}$ permanece inalterable. Esto lleva a

$$\int f(\eta + b) d\eta = \int f(\eta) d\eta$$

Del mismo modo, si elegimos un $n\times n$ matriz compleja $A = (A_{ij})$ e introducir un nuevo conjunto de variables $\zeta_i = \sum_{j=1}^n A_{ij} \eta_j$ fo, encontramos $f(\eta) \in X \implies f(\zeta) \in X$ . Además, $\eta_1\wedge \cdots \wedge \eta_n$ se asignan a

$$\sum_{1 \le i_1,\ldots,i_n \le n} A_{1i_1} A_{2i_2} \cdots A_{ni_n} \eta_{i_1}\wedge \cdots \wedge \eta_{i_n} = \sum_{\pi \in S_n} (-1)^\pi \prod_{i=1}^n A_{i\pi(i)} \eta_1 \wedge \cdots \wedge \eta_n = \det(A) \eta_1 \wedge \cdots \wedge \eta_n $$ donde el término medio es una suma sobre todas las permutaciones $\pi$ de la $n$ índices $1,\ldots n$ .

Obsérvese que en ambos casos, el coeficiente de $a_{12\cdots n}$ se multiplican por el mismo factor $\det(A)$ . Esto lleva a

$$\int f(A\eta) d\eta = \det(A) \int f(\eta) d\eta$$

Combinando estos, tenemos la siguiente fórmula de "cambio de variable"

$$\bbox[1em,border:1px solid blue]{ \int f(A\eta+b) d\eta = \det(A)\int f(\eta) d\eta }\tag{*1}$$

Para la identidad en cuestión, tenemos

$$\begin{align} & \int\exp\left[\theta^T A\eta+\theta^T J+K^T\eta\right]d\theta d\eta \stackrel{?}{=}\det A\exp\left[-K^T A^{-1} J\right]\\ \iff & \int\exp\left[\theta^T A\eta+\theta^T J+K^T\eta + K^T A^{-1} J\right]d\theta d\eta \stackrel{?}{=}\det A\\ \iff & \int \exp\left[(\theta + A^{-T}K)^T A(\eta + A^{-1}J)\right] d\theta d\eta \stackrel{?}{=} \det A \end{align} $$ Aplicar $(*1)$ para la transformación $\theta \mapsto \theta + A^{-T} K$ , $\eta \mapsto A\eta + J$ la última igualdad equivale a

$$\int \exp[ \theta^T \eta ] d\theta d\eta \stackrel{?}{=} 1\tag{*2}$$ Aviso $$\begin{align} \exp[\theta^T\eta] &= \prod_{\ell=1}^n \exp[\theta_\ell \eta_\ell] = \prod_{\ell=1}^n (1 + \theta_\ell \eta_\ell)\\ &= (1 + \theta_1 \eta_1 ) \cdots (1 + \theta_n \eta_n ) = (\theta_1 \eta_1) \cdots (\theta_n \eta_n ) + (\cdots) \end{align} $$ donde $(\cdots)$ es un lío contiene términos con menos de $2n$ productos. Hasta la convención de cómo fijar el signo en la integral de Grassmann, encontramos $(*2)$ es cierto. En consecuencia, también lo es la identidad que nos ocupa.

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Sobre la cuestión de si $J, K$ son variables de Grassmann o no. Pueden serlo pero no es necesario.
De hecho, $(*1)$ y $(*2)$ se derivan bajo el supuesto $A \in M^{n\times n}(\mathbb{C})$ y $b, J, K \in \mathbb{C}^n$ .

Para generalizar $(*1)$ sustituimos $\mathbb{C}$ por cualquier anillo conmutativo $R$ y $V$ por $V_\eta \oplus V_\chi$ una suma directa de dos $R$ -módulo donde $V_\eta$ está atravesado por $\eta_1,\ldots,\eta_n$ y $V_\chi$ está atravesado por $\chi_1,\cdots,\chi_m$ . En lugar de $\Lambda(V)$ funciones sobre $\eta_k$ se ven ahora como elemento de $\Lambda(V_\eta \oplus V_\chi) \simeq \Lambda(V_\eta) \otimes \Lambda(V_\chi)$ . Cuando una función de expansión $f(\eta)$ sobre productos exteriores de $\eta_k$ los coeficientes $a_{i_1i_2\ldots i_k}$ ahora están tomando valores en $\Lambda(V_\chi)$ . La integral de Grassmann se sigue definiendo como el coeficiente $a_{12\ldots n}$ .

Si se repite el argumento, se encuentra $(*1)$ sigue siendo válida para $A \in M^{n\times n}(R)$ y $b \in \Lambda(V_\chi)^n$ .

Para generalizar $(*2)$ necesitamos una restricción adicional $$\theta^T A\eta+\theta^T J+K^T\eta\quad\text{ commutes with }\quad K^T A^{-1} J$$ Si esto se cumple, tenemos $$\exp[\theta^T A\eta+\theta^T J+K^T\eta + K^T A^{-1} J] = \exp[\theta^T A\eta+\theta^T J+K^T\eta]\exp[K^T A^{-1} J]$$ Repitiendo el argumento, se encuentra $(*2)$ sigue siendo válida cuando $A \in M^{n\times n}(R)$ y los componentes de $J, K$ procedente de $\Lambda^{odd}(V_\chi) \stackrel{def}{=} \bigoplus\limits_{k=1,\text{ odd}}^{n}\Lambda^k(V_\chi)$ .

Esto significa que, además de los números complejos, los componentes de $J, K$ pueden ser variables de Grassmann (o más generalmente, elementos de $\Lambda^{odd}(\cdot)$ ) que se anticipa con $\theta, \eta$ y entre ellos mismos.