¿Por qué es $S^{-1}A$ el objeto inicial de esta categoría?

Question

Compruebe que $S^{-1}A$ satisface las siguientes universal de los bienes: $S^{-1}A$ es inicial entre $A$-álgebras $B$ donde cada elemento de a $S$ es enviado a un elemento invertible en a $B$.

No $S^{-1}A[x]$ ser también un objeto inicial en esta categoría? Tenga en cuenta que $S^{-1}A[x]$ no es isomorfo a $S^{-1}A$.

En todos los homomorphisms $\phi:S^{-1}A[x]\to O$ donde $O$ es cualquier otro objeto en el categoría, mapa de $x$$1_O$.

Answer 1

$S^{-1}A[x]$ no es inicial en esta categoría debido a que no hay un único mapa de $S^{-1}A[x] \to S^{-1}A$, hay muchos de esos mapas.

Por otro lado, si $B$ $A$ álgebra satisfacer las condiciones, usted puede demostrar que no es sólo una $A$-álgebra de mapa de $S^{-1}A \to B$.