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Categórico Introducción al álgebra y topología

Soy auto-estudio de las Matemáticas en mi tiempo libre. En este momento estoy leyendo libros sobre el Álgebra y en la Categoría de teoría. Más exactamente, empecé a trabajar a través de la libreta $\textit{Algebra}$ por Serge Lang. He leído los capítulos en grupos y anillos, pero mi motivación alguna manera desaparecido y me dirigí a la categoría de teoría.

Más exactamente, empecé a leer $\textit{Categories for the Working Mathematician}$ por Saunders MacLane. Ahora me siento cómodo con todos los conceptos tratados en el primero de los cinco Capítulos, es decir, categorías y functors y las habituales fórmulas de propiedades universales.

Realmente me gustaría seguir leyendo acerca de álgebra, pero una vez que entendí el strucutrual enfoques a las Matemáticas, me cuesta imaginar a seguir haciendo todos los terribles cálculos, Álgebra básica, libros como Lang, están llenos de, en lugar de utilizar propiedades universales y así sucesivamente.

Así que, básicamente, mi pregunta es, si hay libros sobre Álgebra, no asumiendo ningún tipo de conocimiento algebraico, pero ampliamente mediante la categoría de la teoría de los métodos. Por supuesto, es muy no-estándar para cubrir toda la categoría básica de la teoría antes de pasar a las aplicaciones en Álgebra, pero espero que alguien sabe de un libro o unos apuntes satisfacer mis necesidades.

Además, me gustaría aprender algo de topología. En este campo, he incluso menos conocimiento que en Álgebra, es decir, ni siquiera sé la definición de un espacio topológico. Mi pregunta es la misma que con el Álgebra: hay una categórica/conceptual introducción a la topología general?

Cada sugerencia será muy apreciada. Puedo entender el alemán y el inglés de los libros. También debo agregar que yo no sé nada acerca del Cálculo, de Análisis o de Álgebra Lineal. Además de algunas notas sobre la configuración básica de la teoría, Lang texto fue el primer texto en matemáticas, las que he trabajado. Por favor, dime, si tengo que especificar mis deseos.

26voto

Michael Carman Puntos 141

Paolo Aluffi del Álgebra: Capítulo 0 es justo lo que estás buscando, creo, para el álgebra parte.

Como para la topológico parte, no sé de introducciones a -general - topología que son todos los que categórica, pero creo que de punto de ajuste de la topología, como está tan cerca de la teoría de conjuntos, no es muy adecuado para interesante y útil el pensamiento categórico en general. Pero esa es mi opinión. Topología algebraica, por otro lado, es algo totalmente diferente, pero también es fuera de tema.

26voto

sq1020 Puntos 143

El desarrollo de álgebra categóricamente lamentablemente es difícil porque el material necesario que se extiende sobre un número de aparentemente sin relación de libros y artículos. Otra dificultad es que la mezcla de conjunto de la teoría de las fundaciones categórica lenguaje hace las cosas un poco difíciles de entender. Tengo una lista de lectura de los que podemos aprender de la categoría de perspectiva, pero esto es realmente una gran cantidad de material, y ninguno de los que viene en los libros de texto, por lo que es bastante lentos para aprender. En concreto, no, de hecho, aprender álgebra de este y será un mejor servicio en los términos de la adquisición de conocimiento de trabajo de, digamos, Aluffi. En cualquier caso, a continuación está la lista, dispuestos en un cierto orden lógico, pero que realmente debería ser la lectura de todas las cosas simultáneamente.

En primer lugar, usted necesita entender la categoría de conjuntos s de ser un bien-señaló topos, interna a la sintáctica (bi)-categoría de predicados y funcional (predicados) clases. Para esto usted quiere mirar

  • Bocetos de un Elefante: en Primer lugar, lea la Sección D1. Esto es acerca de lo que la lógica de primer orden se parece en categorías de lenguaje. Quieres entender el sintáctico (bi-)categoría de predicados y funcional (predicados) clases asociadas a un primer orden de la teoría. Segundo, leer las secciones A1 y A2 con el fin de entender lo que es un topos (por lo tanto, una "teoría de conjuntos") se parece a categóricamente.

Segundo, el álgebra es realmente acerca de las mónadas, en el sentido de que cualquier categoría de objetos algebraicos es una categoría de álgebras de una mónada. Para esto, usted debe leer

Después, usted necesitará un poco de conocimiento de la enriquecido categoría de teoría en monoidal categorías cerradas, ya que, dado que la mayoría de las mónadas de álgebra básica proviene de monoid objetos en un monoidal cerrado categoría (por ejemplo, el grupo de acciones son álgebras para la mónada asociado a un objeto de grupo en Conjunto, los espacios vectoriales son álgebras de los objetos sencillos en la categoría de monoid objetos en la categoría de abelian grupos, etc.). El material pertinente para la comprensión de las construcciones de estas categorías son los primeros capítulos de

Es aquí, en la consideración de la enriquecido categoría de la teoría de la perspectiva, donde tener una buena comprensión de la categoría de conjuntos como bien señaló topos es crucial. Sin bien la concentración, no se puede concluir mucho acerca de las categorías de functors que se está construyendo, y que las diversas categorías de objetos algebraicos a fin de cuentas.

Por último, están los papeles de "Mónadas en Monoidal Simétrica Categorías" y "Cerrado de Categorías Generadas por Conmutativa Mónadas" por Anders Kock que enfrentar el hecho de que álgebras para conmutativa mónadas heredar una monoidal estructura cerrada cuando la conmutativa mónada es en un monoidal cerrado categoría. Aquí es donde el tensor de productos, por ejemplo, realmente vienen.


Con respecto a la topología de la categoría de Fundaciones libro también tiene Capítulo III: UN Enfoque Funcional a la Topología General, que es bastante esclarecedor, pero usted debe probablemente sólo leer simultáneamente con una topología real del libro, como Munkres.

11voto

ಠ_ಠ Puntos 1713

Texto de Ronald Brown topología y grupoides es probablemente lo que usted quiere de un texto de topología. Da una introducción a la topología general y el groupoid fundamental utilizando el lenguaje de la teoría de la categoría a lo largo. Es un excelente libro de texto.

5voto

duality_ Puntos 133

Si te puedes entender en alemán (y según tu post original supongo lo), para obtener una introducción a la topología con un toque de teoría de la categoría le avice a echar un vistazo a "Grundkurs Topologie" por Gerd Laures y Markus Szymik. Sólo podría ser lo que buscas. Aunque dudo que usted verá Yoneda "en acción".

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