"Demostrar que 98765432 no es el cuadrado de un número entero" vs "Deducir que 1234567 no es un cuadrado perfecto"

Question

"Demostrar que 98765432 no es el cuadrado de un número entero" y "Deducir que 1234567 no es un cuadrado perfecto" son las dos declaraciones que mi libro de texto (Una Introducción al Razonamiento Matemático por P. Eccles) cubre. Sin embargo, me doy cuenta de que hay una contradicción cuando voy a aplicar sus métodos en un intercambiado de manera, que me parece que no puede averiguar.

Por simplicidad, vamos a llamar a la prueba de la primera declaración, "Demostrar que 98765432 no es el cuadrado de un número entero", Prueba 1, y la prueba de la segunda declaración, "Deducir que 1234567 no es un cuadrado perfecto", la Prueba 2.

Demostrando que $98765432$ no es el cuadrado de un número entero:

Prueba 1:
Deje $n = 98765432$

La proposición 15.2.3 estados, "Si n es un cuadrado perfecto (es decir, el cuadrado de un entero), a continuación, $n = 3q$ o $n = 3q + 1$ para algunos entero, $q$".

$98,765,432 = 3q + 2$ donde $q = 32,921,810$

Por lo tanto, hemos demostrado que $98765432$ no es un cuadrado perfecto, por la Proposición 15.2.3

$Q.E.D.$

Luego, en otro ejemplo de problema, el libro demuestra que la afirmación "Si n es un cuadrado perfecto, entonces n = 4t o n = 4q + 1 para algún entero, q". para ser válida. A continuación, el autor deduce que 1234567 no es un cuadrado perfecto de la siguiente manera:

Prueba 2:
Deje $n = 1234567$

$1,234,567 = 4q + 3$ donde $q = 308,641$

Desde $1234567$ no es igual a $4q$ o $4q + 1$, no es un cuadrado perfecto. Por lo tanto, hemos deducido $1234567$ no es un cuadrado perfecto.

$Q.E.D.$

He de hacer comprender cómo se utiliza una derivación de la división teorema para demostrar estas afirmaciones. Lo que yo no puedo envolver mi cabeza alrededor es cuando me cambie la lógica que se usa para las dos pruebas, tengo la teoría de que se debe trabajar de la misma manera. Sin embargo, no lo hace, y me gustaría saber por qué. Por otra parte, cuando uso la Proposición 15.2.3 ("Si n es un cuadrado perfecto (es decir, el cuadrado de un entero), a continuación, $n = 3q$ o $n = 3q + 1$ para algunos entero, $q$.) en el número de $n = 1234567$, me sale lo siguiente:

Prueba 1 (revisada):
Deje $n = 1234567$ *Aviso de la "revisión" es que estoy utilizando el número n de Prueba 2 lugar

$1,234,567 = 3q + 1$ donde $q = 411,522$

Por lo tanto, hemos demostrado que 1234567 no es un cuadrado perfecto, por la Proposición 15.2.3

No podemos deducir por la Proposición 15.2.3 que $1,234,567$ no es el sqaure de un número entero desde $1,234,567 = 3q + 1$

$Q.E.D.$

Del mismo modo, yo hice lo mismo con la Prueba 2 de la siguiente manera:

Prueba 2 (revisado):
Deje $n = 98765432$ *Nota: la revisión aquí es este n es el n de **Prueba 1 ** en su lugar

$98,765,432 = 4q $ donde $q = 308,641$

Por lo tanto, hemos deducido 98765432 no es un cuadrado perfecto.

Desde $1234567$ igual $4q$ o $4q + 1$, no se puede deducir que n es un cuadrado perfecto.

$Q.E.D.$

Answer 1

Sabemos que SI $n$ es un cuadrado perfecto, ENTONCES $n=3q$ o $n=3q+1$ algunos $q$. Este teorema es falso la otra manera alrededor.

Lo que estoy diciendo es que, si $n$ no es un cuadrado perfecto, entonces podemos tener la $n=3q$ o $n=3q+1$.

Básicamente se reduce a la lógica. "Si $A$, $B$" no es lo mismo que "Si no $A$, entonces el no $B$", pero es el mismo como "Si no $B$, entonces el no $A$". Si llueve, me voy a mojar. Si me voy a mojar, no tiene a la lluvia - que podía estar en la ducha. Pero si yo no mojarse, tenemos la certeza de que no llueve.

Esta es la razón por la que usted puede utilizar el teorema de

si $n$ es un cuadrado perfecto, entonces $n=3q$ o $n=3q+1$ algunos $q$.

A decir

si no $n=3q$ o $n=3q+1$ algunos $q$, entonces el no $n$ es un cuadrado perfecto.

que en palabras normales sería

si $n\neq3q$ o $n\neq3q+1$ todos los $q$, $n$ no es un cuadrado perfecto.

Así que en el primer ejemplo, $98765432$ no es de la forma $98765432=3q$ y no de la forma $98765432=3q+1$, por lo tanto, no puede ser un cuadrado perfecto.

Answer 2

Como se ha señalado los teoremas sólo dice que las plazas deben cumplir con estas propiedades, pero no decir que todos los números cumplimiento de estas propiedades son cuadrados.

Por ejemplo, tenemos para $q=2$ que ni $6=3q$ ni $7=3q+1$ es un cuadrado. Al igual que tenemos para $q=3$ que ni $12=4q$ ni $13=4q+1$ es un cuadrado.

Los números de $12$ $13$ muestra que ninguno de estos criterios están obligados a trabajar para decidir si son cuadrados. Ambos se cumplan tanto los requisitos que hay un $q=4$ tal que $12=3q$ o $13=3q+1$, y hay un $q=3$ tal que $12=4q$$13=4q+1$.

La manera de ser garantizado a decidir es tomar "entero de la raíz cuadrada". Por ejemplo,$\sqrt{98765432} = 9938.079895\cdots$. Tal vez esto no sea considerado como "matemático" pero tenemos que $9938^2 = 98763844 < 98765432 < 98783721 = 9939^2$ luego uno completo que para cualquier otro $r\in\mathbb N$ (de $9938$ o $9939$) tenemos que $r<9938$, lo que significa que $r^2 < 9938^2$ o $r>9939$, lo que significa $r^2 > 9939^2$ - que es $r^2 \ne 9875432$.