Encontrar todos los campos finitos k cuyos subcampos forman una cadena: si $k'$ y $k''$ son subcampos de $k$ Entonces, o bien $k' \subseteq k''$ o $k'' \subseteq k'$ .

Question

Encontrar todos los campos finitos $k$ cuyos subcampos forman una cadena: es decir, si $k'$ y $k''$ son subcampos de $k$ Entonces, o bien $k' \subseteq k''$ o $k'' \subseteq k'$ .

Por lo tanto, entiendo que estoy tratando de encontrar los valores de $n$ tal que los subcampos de $\mathbb{F}_{p^n}$ (donde $\mathbb{F_{p^n}}$ es el campo de Galois de orden $p^n$ ) forman una cadena. Sin embargo, no sé por dónde empezar. Si alguien pudiera indicarme la dirección correcta sería de gran ayuda. Este problema se encuentra en el Álgebra Moderna Avanzada de Rotman.

Answer 1

En pocas palabras:

Con un par de advertencias: lo que se traza aquí es realmente la función de onda $-\langle x\lvert 2\rangle$ o $\langle x\lvert -2\rangle$ (por lo que, en realidad, este gráfico es muy engañoso en un sentido), y los picos deben considerarse como funciones delta. Pero esta es la idea básica.

Answer 2

Primero lee el comentario de Mariano y la respuesta de Arturo. Si eso no es suficiente, entonces...

Mira el diagrama en esta pregunta. Ignora esa larga línea vertical que conecta el campo de abajo con el de arriba. Observe que los subcampos de $\mathbb{F}_{2^{12}}$ no forman una cadena, como se requiere en su ejercicio. Por ejemplo, ninguno de los campos intermedios $\mathbb{F}_4$ y $\mathbb{F}_8$ es un subcampo del otro. Pero hay una pista en ese diagrama que nos permite diagnosticar, ¡por qué sucedió eso!

1. En ese diagrama dos subcampos están conectados con una línea, si uno es una extensión del otro, pero no hay campos intermedios entre ellos. ¿Por qué no empiezas escribiendo el grado de la extensión (de los dos campos implicados) adyacente a cada línea? ¿Notas algo en esos números?

Los números son factores primos de 12. Por lo general, se deberá utilizar $[k:\mathbb{F}_p]$ en lugar de 12.

2. Fíjese en los campos del diagrama en los que se produce una "ramificación", es decir, aquellos campos que se encuentran en la parte inferior de dos (o, en un caso más general, de dos o más) líneas. ¿Notas algo en los números adjuntos a esas líneas?

Los números primos de esas líneas son distintos.

3. ¿Cómo podemos evitar que eso ocurra?

Si $p$ y $q$ son dos factores primos diferentes de $n$ y $G$ es un grupo cíclico de orden $n$ generado por $g$ entonces $g^p$ y $g^q$ generar subgrupos de órdenes $n/p$ y $n/q$ respectivamente. ¿Qué dice la teoría de Galois sobre los campos fijos de esos dos subgrupos?