conceptos básicos de los límites de

Question

Supongamos que tengo una función:

$ f(x)=x$

Ahora quiero calcular los límites: $\lim\limits_{x\rightarrow1}f(x)=f(1)$

Como wiki_limits dijo:

el límite de $f$ $x$ $x$ enfoques 1, es $f(1)$.

Así que mi pregunta aquí es

1 Qué significa el límite de cálculo son, en realidad es un aproximado tipo de cálculo? No es normal cálculo preciso como $1+1=2$

2 Si todos los límites de cálculo se aproxima resultados, significa que Caculus se acerca aproximada de cálculo? (Basado en mi conocimiento actual, acaba de empezar a aprender sola cálculo)

Answer 1

A partir de la interacción con OP a través de los comentarios parece que el OP es de la opinión de que los límites son usados para tratar con el cálculo aproximado. Así que él menciona, a través de comentarios: "No $x \to 1$ media $x = 1$? A mí me parece que $x$ será tanto cerca como sea posible a $1$ pero no será igual a 1. Por lo que la aproximación viene aquí".

Me dio una respuesta a través de comentarios, pero luego sintió como la adición de un poco de explicación y, por lo tanto esta respuesta vino a la existencia.

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Tal vez es un error común pensar que el significado del símbolo $x \to 1$ (en oposición a $x = 1$) es que el $x$ toma valores cercanos a los de cerca y a$1$, de modo que algunos de ordenación de la actividad infinita de la asignación de valores (cerca y cerca a$1$) $x$ está en marcha aquí.

Este en realidad es un profundo error y es probablemente el resultado de los esfuerzos de los diferentes autores de libros de texto y profesores de aula para explicar la noción de límites en modo intuitivo. A veces tan intuitivos como explicaciones cruzar la línea y se apartan demasiado del concepto que se explica. El símbolo $x \to a$ no tiene un significado independiente en el aislamiento, sino que se da un significado en un contexto adecuado.

Una de esas contexto es la frase "$f(x) \to L$ $x \to a$ " o, equivalentemente, la notación $\lim\limits_{x \to a}f(x) = L$. En tal contexto, el símbolo de $x \to a$ no tiene nada que ver con la asignación de cualquier conjunto de valores de a $x$. En lugar de esta frase es la que garantiza la verdad de un número infinito de enunciados lógicos. Esto es algo difícil de entender al principio y por eso algunos simbolismo/formalismo puede ser evitado al explicar este concepto. De manera informal, la frase $f(x) \to L$ $x \to a$ significa que es posible para garantizar que todos los valores de $f(x)$ mentira como cerca de a $L$ como nos plazca por la elección de los valores de $x$ lo suficientemente cerca de a, pero no igual a $a$. Por lo tanto, podemos pensar en "garantizar la $f(x)$ cerca de $L$ como nos plazca" como una meta (en realidad corresponde a un infinito número de objetivos, debido a la utilización de la frase "tan cerca ... como nosotros, por favor") y la elección de los valores de $x$ cerca, pero no es igual a $a$ como un medio para asegurar que este objetivo se puede lograr. La declaración de $\lim\limits_{x \to a}f(x) = L$ nos dice que esta complicado especie de meta posible de alcanzar en la forma que se indica.

Para decirlo más crudamente: "$f(x) \to L$$x \to a$" no significa que $x$ es tomar valores cercanos a $a$, y como resultado de esto, los valores de $f(x)$ son cerca de $L$. Más bien significa que si $x$ toma valores muy cercanos a $a$, a continuación, los valores de $f(x)$ estará cerca de $L$. Tenga en cuenta que hay una implicación involucrados aquí por "si". Que en realidad no care/saber/estado lo que el valor de $x$ es pero we care/saber/que si los valores de $x$ son cerca de $a$, a continuación, los valores de $f$ son cerca de $L$. Esta versión cruda parece implicar que la parte dedicada a la hipótesis "si $x$ es cerca de $a$" es más importante/esencial que la parte dedicada a la conclusión de que "los valores de $f$ son cerca de $L$" mientras que en realidad es a la inversa y el enfoque de limitar el concepto es para asegurarse de que los valores de $f$ puede ser contenido en una forma muy específica acotando los valores de $x$ en otro de manera específica.

Así, el concepto de límite no implica la asignación de un conjunto de valores de la variable independiente $x$ y el pensamiento acerca de los valores de la variable dependiente / función $f(x)$. Implica más bien la afirmación de que los valores de $f$ puede ser asegurada a comportarse de una cierta manera (o puede ser asegurado de tener una tendencia específica) mediante la restricción de los valores de $x$ en otro de manera específica.

También, si uno pregunta a la pregunta "si $x \to a$ entonces, ¿qué puedes decir sobre el valor de $x$?", la respuesta correcta es no que los valores de $x$ son cerca de $a$, sino que la respuesta correcta es "el símbolo de $x \to a$ sí sola no puede ser interpretado de deducir cualquier información acerca de los valores de $x$, salvo el mínimo de garantía de que $x \neq a$."

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Con respecto a las aproximaciones es equivocado pensar que los límites son una herramienta para calcular el valor aproximado de $f(x)$ por la elección de un valor aproximado de $x$ cerca de $a$. Los límites están bien definidos de las operaciones en funciones y no son utilizados para aproximar el valor de una función, sino que se utiliza para estudiar el comportamiento de tendencia de los valores de una función en una manera específica.

Por otro lado, son muchos los que la aproximación de las técnicas que tienen su base en el cálculo. Un ejemplo famoso es el método de Newton Raphson método de aproximadamente encontrar raíces de ecuaciones (tanto polinomio y no polinomio tipo). Usando este método se obtiene la famosa técnica de aproximación de raíces cuadradas. Si queremos encontrar una aproximación a $\sqrt{A}$ después de empezar con cualquier número positivo $a$ y calcular los números de $f(a), f(f(a)), f(f(f(a)))$ donde $$f(x) = \dfrac{1}{2}\left(x + \dfrac{A}{x}\right)$$ Each of the values $a, f(a), f(f(a)), \ldots$ is a better approximation to $\sqrt{A}$ than the previous one in sequence. You should check this method with $A = 2, a = 1$. Otro ejemplo es el uso de la serie de Taylor para evaluar los valores de las funciones correspondientes.

Answer 2

La noción de límite es, más generalmente, a un topológica de la noción. Se define en términos de la topología del espacio en cuestión. Por supuesto, esto plantea la pregunta: ¿qué es una topología? Formalmente, una topología, $\tau$, para un conjunto $X$ es una colección de subconjuntos de ese conjunto, definido para ser abierto, que satisface las siguientes propiedades:

1: El conjunto vacío $\{\}$, y la de todo el conjunto, $X$ son los elementos de la topología, $\tau$.

2: Dado cualquier colección de conjuntos en la topología, $U_i\in\tau$ $i\in I$ ($I$ es un conjunto de índices), la unión de los conjuntos, $\bigcup_{i\in I} U_i$ también está en la topología, $\bigcup_{i\in I} U_i\in\tau$.

3: Dado cualquier finito colección de conjuntos en la topología, $U_i\in\tau$$i\in I$, la intersección de los conjuntos, $\bigcap_{i\in I} U_i$ también está en la topología, $\bigcap_{i\in I} U_i\in\tau$.

El punto de la anterior definición abstracta es que la estructura resultante da una noción de cercanía, a través de la open conjuntos definidos por una determinada topología, que es menos rígida que la distancia (para apreciar plenamente lo que significa que usted necesita para el estudio de la topología de un poco justo).

Con topologías definidas, entonces se puede definir la noción de límite de una función rigurosamente:

Un límite de una función, $f$ entre espacios topológicos, $(X,\tau)$ $(Y,\sigma)$ $x\rightarrow x_0$ es un punto de $y_0\in Y$ tal forma que:

Dado cualquier conjunto abierto $V\in\sigma$ contiene $y_0$, existe un conjunto abierto en $U$ contiene $x_0$ que la imagen en $f$, de $U-\{ x_0\}$ ($U$ con el punto de $x_0$ retirado de ella), $f(U-\{ x_0\})$ está contenida en $V$, $f(U-\{ x_0\})\subseteq V$.

Dos cosas a tener en cuenta: en Primer lugar, la existencia de un punto de $y_0$ no está garantizada, y de hecho, hay muchos ejemplos de límites que no existen. Segundo, no hay una garantía de que el $y_0$ es única, puede haber muchos de esos puntos, por lo tanto, en general, sólo se puede hablar de un límite más que el límite. Sin embargo, la mayoría de las topologías de intereses en el estudio de la topología en sí satisfacen una propiedad llamada la Hausdorff de la propiedad, lo que garantiza que cuando el límite existe, es única, por lo tanto, en Hausdorff espacios topológicos nos puede hablar de el límite.

El punto de la definición de límite por encima, es que la función, $f$ se puede decir que eventualmente dentro de cada barrio de el punto límite (el término barrio es sinónimo de conjunto abierto aquí).

Presentar esta abstracción de la espalda hacia abajo para el caso de interés: Los números reales tiene un natural de la elección de la topología, que se define a través de una base:

Una base para una topología es un subconjunto de la topología, de la que uno puede reconstruir el resto de la topología a través de los sindicatos. Para los números reales, esta es la base que abrir intervalos: $(a,b)$ ( $a<b$ ). Por lo tanto, un elemento arbitrario de la norma de la topología de los reales se ve como una unión de intervalos abiertos:

$\bigcup_{i\in I}(a_i,b_i)$ donde $i\in I$

Si consideramos un punto límite $y_0$, siempre que éste exista, se habla de abrir los barrios alrededor de ese punto, los que están siendo cualquier intervalo abierto $(a,b)$ tal que $y_0\in (a,b)$ (más general, dado un elemento de la topología estándar de los reales, $y_0$ se encuentran en al menos uno de los intervalos en la unión, por lo que puede concentrarse en base a los elementos). La definición de límite en este contexto se hace: dado cualquier intervalo abierto $(a,b)$ contiene $y_0$, existe un intervalo abierto $(c,d)$ contiene $x_0$ de manera tal que la imagen de $(c,d)-\{ x_0\} =(c,x_0)\cup (x_0,d)$, $f((c,x_0)\cup (x_0,d))$ se contiene en el otro intervalo abierto $f((c,x_0)\cup (x_0,d))\subseteq (a,b)$. La formal $\epsilon$-$\delta$ definición de un límite que usted encontrará en la mayoría de las presentaciones formales de los límites (por ejemplo, en la mayoría de riguroso cálculo de los textos) no es más que una reafirmación de la anterior sin referencia específica a la topología de los involucrados (ya que gran parte de la motivación para el desarrollo de la topología de vino de los intentos de ampliar las herramientas y técnicas de cálculo más matemática general contextos, y que, históricamente, el cálculo de pre-fechas de la topología de aproximadamente 3 siglos, e incluso de los límites pre-fecha de la topología de por lo menos 50 años, este es pedagógicamente justificado).

La forma intuitiva de pensar acerca de los límites en el contexto en cuestión es preguntarse: ¿Cuál es la función de hacer alrededor de la $x=x_0$. Es que siempre que se alojen en torno a un determinado valor, $y_0$? Si sí, entonces, intuitivamente, tiene un límite en el $x=x_0$$y_0$. Lo anterior hace que la intuición precisa en un matemáticamente rigurosa.

Answer 3

Sí a ambas preguntas, excepto que en el límite de su aproximación está tan cerca del valor real, usted no puede decir la diferencia. Y, en algunos casos, el "valor real" no existe, pero el límite. Así que me gustaría describir este tipo de límites como estar cerca de un valor que 'ser ahí' si se define en primer lugar. (Buscar discontinuidad removible por ejemplo).

Esto es todo lo rigurosa por epsilon y delta, que en la de Newton y de Leibniz del Cálculo se llama cosas como fluxions y infinitesimals. Cuanto más estudiamos el Cálculo y límites en general, la más clara de estas definiciones y las ideas serán para ti...