Función para

Question

Ya he demostrado que $\zeta(z)=\frac{1}{\Gamma(z)}\int_0^\infty\frac{t^{z-1}}{e^t-1}dt=\frac{\Gamma(z-1)}{2\pi i}\int_{-\infty}^0\frac{t^{z-1}}{e^{-t}-1}dt$

Ahora el Benoulli números son definidos por $\frac{1}{e^t-1}=\sum_{m=0}^{\infty}B_m\frac{t^{m-1}}{m!}$ donde $B_0=1, B_1=1/2, B_{2m+1}=0$

¿Cómo puedo usar estas cosas para obtener una expresión para $\zeta(-n), n=0,1,2,3...$ en términos de $B_n$

Answer 1

Supongo que te refieres a $$\zeta(z) = \frac{\Gamma(1-z)}{2 \pi i} \int_{C} \frac{t^{z-1} }{e^{-t}-1} \ dt = \frac{\Gamma(1-z)}{2 \pi i} \int_{C} \frac{t^{z-1}e^{t} }{1-e^{t}} \ dt$$

donde $C$ es un contorno en el plano complejo que se inicia en $- \infty$ por debajo de la rama de corte en el eje real negativo, va en torno al origen, y luego se va a volver a $-\infty$ arriba de la rama cortada.

Que la representación de la función zeta es válida para todos los valores complejos de $z$ con la excepción de $z=1$.

Ahora vamos a $z= - n$.

A continuación, $$ \zeta(-n) = \frac{\Gamma(n+1)}{2 \pi i} \int_{C} \frac{t^{-(n+1)}e^{t}}{1-e^{t}} \ dt$$

Pero ahora, desde $z$ es un número entero, la integral por encima y por debajo de la corte cancelar el uno al otro. Así que todo lo que queda es el círculo alrededor del origen.

Así

$$ \zeta(-n) = \frac{\Gamma(n+ 1)}{2 \pi i } \ 2 \pi i \ \text{Res}_{t=0} \left(\frac{t^{-n-1} e^{t}}{1-e^{t}} \right) = -n! \ \text{Res}_{t=0} \ \left( t^{-n-2} \frac{t e^{t}}{e^{t}-1} \right)$$

$$ = - n! \ \text{Res}_{t=0} \left( t^{-n-2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{B_{m}(1)}{m!} t^{m} \right) = - n! \frac{B_{n+1}(1)}{(n+1)!} = - \frac{B_{n+1}}{n+1}$$

EDITAR:

Lo anterior sólo es verdad para $n \ge 1$.

Para $n=0$, $B_{1}(1) = \frac{1}{2} \ne B_{1}(0) = B_{1} =- \frac{1}{2}$.

Answer 2

$\newcommand{\+}{^{\daga}} \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle #1 \right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil #1 \right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,} \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ $$ \mbox{Uso}\quad\zeta\pars{-n}= -2^{-n}\pi^{n - 1}\Gamma\pars{1 + n}\zeta\pars{1 + n}\sin\pars{n\pi \over 2} $$

Answer 3

Tenemos para$s$$\Re{e}(s) > 1$ :

$\Gamma(s)\zeta(s)=\int_0^\infty\frac{t^{s-1}}{{\rm e}^t-1}\mathrm dt=\int_0^1\frac{t^{s-1}}{\mathrm e^t-1}\mathrm dt+\int_1^\infty\frac{t^{s-1}}{\mathrm e^t-1} dt$.

La segunda integral es holomorphe en $s$. Tomamos la serie de Taylor en la primera integral.

Tenemos para todos los $t$ $|t| < 2\pi$

$\frac t{{\rm e}^t-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n t^n}{n!}$,

donde el $B_n$ son los números de Bernoulli. La integración término a término

$\zeta(s)=\frac1{(s-1)\Gamma(s)}+\frac1{\Gamma(s)}\sum_{n=1}^\infty\frac{B_n}{n!(n+s-1)}+\frac1{\Gamma(s)}\int_1^\infty\frac{t^{s-1}}{\mathrm e^t-1} \mathrm dt$.

La serie converge y es holomorphic para todos los s, pero $s=-n$, $(n \in \mathbb{N})$ debido a que el radio de convergencia de la serie no es modificado por la división por $n + s – 1$.

Al $s \to k$ $Γ(s)$ tiene una simple polo en $s=–k$ , $ζ(s)$ es la suma de un término que tienden a $0$ $\frac1{\Gamma(s)}~\frac{B_{k+1}}{(k+1)!~(s+k)}~\underset{\overset{s\to-k}{}}{\sim}~\frac{s+k}{\text{Res}(\Gamma,-k)}~\frac{B_{k+1}}{(k+1)!~(s+k)}=(-1)^k~k!~\frac{B_{k+1}}{(k+1)!}.$

Tenemos la fórmula de Euler : $\zeta(-k)=(-1)^k\frac{B_{k+1}}{k+1}.$