cómo lidiar con esto.

Question

La pregunta es bastante general, y ve a explorar las propiedades de los anillos cociente de la forma $$\mathbb{Z}_{m}[X] / (f(x)) \quad \text{and} \quad \mathbb{R}[X]/(f(x))$$ donde $m \in \mathbb{N}$

Ejemplos clásicos de cómo se puede tratar a los anillos es encontrar relaciones como $$\mathbb{Z}[x]/(1-x,p) \cong \mathbb{Z_{p}}$$ for prime $p$.

Sin embargo, yo a menudo tienen dificultades para comprender intuitivamente lo que los elementos de esos anillos son, y que para calcular el uso de ellos.

Por ejemplo, ¿qué hacen los elementos de las $\mathbb{Z}_{2}[X] / (x^4+1)$ parecen realmente. Puede este conjunto se describe de una manera más clara para ayudar a entender la forma de los anillos de trabajo.

¿Hay alguna forma general de describir los elementos de tales anillos para que isomorphisms y los cálculos se vuelven más fáciles de manejar?

Disculpas si esta pregunta no es suficientemente clara.

Answer 1

Para el tratamiento de su caso particular $$\mathbb{Z}_{2}[X] / (x^4+1),$$ sus elementos son las (clases) de los restos de la Euclidiana divisiones por $x^4+1$, por lo que $$\mathbb{Z}_{2}[X] / (x^4+1) = \{ [a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3] : a_i \in \mathbb{Z}_{2} \}.$$ (Aquí estoy usando corchetes para indicar el residuo de clases).

Se suma las clases normalmente, y en cuanto al producto, primero se toma el producto y, a continuación, tomar el resto de la división Euclídea por $x^4+1$. Alternativamente, usted toma el producto y, a continuación, utilizar la relación $x^4 \equiv -1$ (que es el mismo que $x^4 \equiv 1$ en este caso, como $1 = -1$$\mathbb{Z}_{2}$) para reducir el resultado. Así que no es realmente diferente de la computación en $\mathbb{Z}_{m}$, donde primero se toma ordinaria de la suma o el producto, y luego el resto del modulo $m$.

Así, por ejemplo, $$ [1 + x^2] \cdot [1 + x^3] = [1 + x^2 + x^3 + x^5] = [1 + x + x^2 + x^3], $$ utilizando uno de los dos métodos anteriores.

El caso general de los $F[x] / (f(x))$, $F$ un campo, es similar, usted consigue las clases de los restos de la Euclidiana división por $f(x)$.

Answer 2

A menudo usted puede usar las propiedades universales (de cocientes y el polinomio de álgebras) con el fin de simplificar los anillos. Por ejemplo,

$\mathbb{F}_2[x]/(x^4+1) = \mathbb{F}_2[x]/((x+1)^4) \cong \mathbb{F}_2[y]/(y^4)$

y esto no se puede simplificar más. Usted acaba de "cortar" los polinomios en la $y$ sobre $y^4$. De curso $y^5$ está todavía allí, pero es igual a cero. Y $1+y$ es una unidad, ya que $1+y+y^2+y^3$ es a la inversa (de manera más general, de la unidad + nilpotent = unidad, esta es la serie geométrica).

A menudo el Teorema del Resto Chino ayuda a simplificar los anillos. Esto muestra que si $f \in K[x]$ se descompone como $f_1^{k_1} \cdot \dotsc \cdot f_n^{k_n}$ con irreductible $f_i$,$K[x]/(f) \cong \prod_{i=1}^{n} K[x]/(f_i^{k_i})$.

Por ejemplo, $\mathbb{R}[x]/(x^2-1) = \mathbb{R}[x]/((x+1)(x-1)) \cong \mathbb{R}[x]/(x+1) \times \mathbb{R}[x]/(x-1) \cong \mathbb{R} \times \mathbb{R}$. Otro ejemplo interesante es $\mathbb{Q}[x]/(x^n-1) \cong \prod_{d|n} \mathbb{Q}(\zeta_d)$.

Desde el CRT tiene arbitrarias de los anillos, también podemos aplicarlo a $\mathbb{Z}/m[x]$. Pero el problema es que este anillo no es un PID (al $m$ no es un número primo), de manera que no tengamos agradable factorizations y aun cuando existan los correspondientes ideales no son coprime y por lo tanto de la CRT no se aplica. Por ejemplo, no creo que realmente podemos simplificar $\mathbb{Z}/4[x]/(2x)$. Los elementos tienen la forma $a_0+a_1 x+ a_2 x^2 + \dotsc$ con enteros $a_i$, donde podemos calcular el $a_0 \bmod 4$$a_i \bmod 2$$i>0$.