Demostrar que para $f(x) = 2x + 1$ definido en el intervalo $(0,1)$ , $f$ no tiene un valor máximo

Question

Demostrar que para $f(x) = 2x + 1$ definido en el intervalo $(0,1)$ , $f$ no tiene un valor máximo.

Tengo esta idea: si suponemos $f$ tiene el máximo, entonces existe $x$ en $(0,1)$ tal que $f(x) \le f(c)$ y equivalente con $x \le c$ . Así que se contradice con el hecho $(0,1)$ es un intervalo abierto.

¿Es correcto mi planteamiento?

Answer 1

Si el máximo es alcanzable en $x = c$ entonces $f(x) \le f(c)=2c+1$ para todos $0 < x < 1$ . Tenga en cuenta que $0 < c < 1$ también. Así que todo lo que necesitas es encontrar un número $b, 0 < b < 1$ tal que $f(b) > 2c+1$ y esto significa $2b+1 > 2c+1 \implies b > c$ . Tome $b = \dfrac{1+c}{2}$ podría hacer el truco.

Answer 2

$f((0,1)) = (1,3)$ y $(1,3)$ está abierto, por lo que no tiene $\max$ .

Answer 3

Supongamos por contradicción que se obtiene un máximo para $y\in (0,1)$ y también hay que tener en cuenta que $f'(x)> 0$ es decir $f$ es estrictamente creciente sobre $(0,1)$ . Desde $(0,1)$ es un conjunto abierto, existe $r>0$ tal que $(y-r,y+r)\subset (0,1)$ pero luego $f\left (y+\frac{r}{2})>f(y\right )$ una contradicción.

Answer 4

Dejemos que $z\in (0,1) $ entonces $z < 1$ . Por continuidad existe un $y $ para que $z <y <1$ así que $y\in (0,1) $ .

$z=f (\frac {z-1}2) < y = f (\frac {y-1}2) $ . Así que $z $ no es un máximo de $f $ . $z $ era arbitraria por lo que ningún punto es un máximo de $f $ .