La resolución de una Ecuación de Diophantine el uso de factorización de ideales

Question

Estoy atascado en la siguiente pregunta que se da de la siguiente manera:

Demostrar que el único entero soluciones de la ecuación \begin{equation} x^2 + 13 = y^3 \end{equation} se $(70,17)$$(-70, 17)$.

(Sugerencia: en primer lugar demostrar que $x$ es incluso y $y$ es impar)

He visto una solución a esta y la primera parte es como sigue.

Deje $x$ $y$ satisfacen la ecuación dada. Un extraño cuadrado es $1$ modulo $4$ y un cubo no puede ser $2$ modulo $4$ $x$ es regular, lo que implica inmediatamente $y$ es impar.

Así que tenemos una factorización de los ideales de la $(x + \sqrt{-13}) \cdot (x - \sqrt{-13}) = (y)^3. \ $ El mcd de a $(x + \sqrt{-13})$ $(x - \sqrt{-13})$ divide $(2\sqrt{-13}) = (2, 1+\sqrt{-13})^2 \, (\sqrt{-13}). \ $ $y$ es impar, $(y)$ no puede ser divisible por $(2, 1+\sqrt{-13})$ por lo tanto \begin{equation} (x + \sqrt{-13}, \, x - \sqrt{-13}) = (1) \hspace{5pt} \text{or} \hspace{5pt} (\sqrt{-13}) \hspace{5pt} (*) \end{equation} En el último caso, $x$ sería divisible por $13$, por lo tanto $y$ sería divisible por $13$ pero, a continuación, $13 \ \big| \ y^3$ $x^2 + 13 \equiv 13 \pmod{13^2}$ lo cual es una contradicción, por lo $(x + \sqrt{-13}, \, x - \sqrt{-13}) = (1)$. De ello se desprende que el principal ideal de $(x + \sqrt{-13})$ es el cubo de un ideal de a $I$.

Así que en primer lugar ¿por qué $(*)$ mantener dado que el $(y)$ no puede ser divisible por $(2, 1 +\sqrt{-13})$ y en el último caso, ¿por qué significa esto $x$ es divisible por $13$?. Finalmente, ¿cómo podemos saber que $(x + \sqrt{-13})$ es el cubo de un ideal de a $I$?

Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

Para tu primera pregunta: Vamos a $P$ denotar el mcd de a$(x + \sqrt{-13})$$(x - \sqrt{-13})$. Usted ha demostrado que $P$ divide $(2,1 + \sqrt{-13})^2(\sqrt{-13})$. Pero también $$P\mid (x - \sqrt{-13})(x + \sqrt{-13}) = (y)^3.$$ Since $P$ divides both $(y)^3$ and $(2,1 + \sqrt{-13})^2(\sqrt{-13})$, it must divide their gcd. You know that $(2,1 + \sqrt{-13})\nmid (y)$, and hence $(2,1+\sqrt{-13})\nmid (y)^3$, so the gcd of $(2,1+\sqrt{-13})^2(\sqrt{-13})$ and $(y)^3$ divides $(\sqrt{-13})$. Therefore $P\mid (\sqrt{-13})$. Espero que aclara el primer punto.

Para la segunda pregunta: asumiendo $P = (\sqrt{-13})$. Desde $P$ divide tanto a a$(x - \sqrt{-13})$$(x + \sqrt{-13})$, se obtiene $$(13) = P^2 \mid (x + \sqrt{-13})(x - \sqrt{-13}) = (x^2 + 13),$$ so $13\a mediados de x^2 + 13$. It follows that $13\a mediados x$.

A la tercera pregunta. Suponemos que $P = (1)$, y quiere entender por qué $(x + \sqrt{-13})$ es el cubo de un ideal. Esto va a seguir a partir de la ecuación $$\tag{$**$}(x -\sqrt{-13})(x + \sqrt{-13}) = (y)^3.$$ Since $P = (1)$, the ideals on the left hand side are coprime. Thus any primes dividing $(y)$ must divide either $(x + \sqrt{-13})$ or $(x - \sqrt{-13})$, but not both. Let $(y) = P_1,\ldots, P_mQ_1,\ldots, Q_n$, where the $P_i\mid(x + \sqrt{-13})$ and the $Q_i\mid (x - \sqrt{-13})$. Then from ($**$) it follows that $P_1^3\cdots P_m^3 = (x + \sqrt{-13})$ and $Q_1^3\cdots Q_n^3 = (x - \sqrt{-13})$. In particular, both $(x + \sqrt{-13})$ and $(x - \sqrt{-13})$ son cubos de ideales.