una secuencia definida por un conjunto medible, con medida de Lebesgue 1/2

Question

Deje $A$ ser un subconjunto de a $[0,1]$ con medida de Lebesgue $\mu(A) = 1/2$.
Deje $I_{i,n} ~ = ~ [(i-1)/n,i/n]$.

Estoy interesado en la secuencia: $$S_n(A) = n\sum_{i=1}^n \mu(A \cap I_{i,n} )^2 $$

Puedo mostrar que $S_n(A)$ entre $1/4$$1/2$.

Mi pregunta es: ¿$S_n(A)$ convergen a $1/2$ ?

Puedo mostrar es cierto cuando se $A$ es una unión finita de intervalos. Para un gran $n$, todos excepto un número finito de la $I_{i,n}$ están dentro o fuera de $A$. Para general $A$, la densidad de Lebesgue teorema parece relevante.

Si la respuesta es no, entonces ¿cuál es el menor valor posible de $\liminf S_n(A)$ $A$ rangos de todos los conjuntos medibles con $\mu(A) = 1/2$ ?

Answer 1

La respuesta a la pregunta es sí.

La reescritura de la secuencia como: $$S_n(A) = \sum_{i=1}^n n^{-1} ( n \mu(A \cap I_{i,n} ) )^2 $$ Para cada una de las $n$ definir una función de paso por: $$f_n(x) = n \mu( A \cap I_{i,n} ) ~~ {\rm for} ~~ x \in I_{i,n}$$ y tenga en cuenta que $$\int_0^1 f_n(x)^2 \,dx = S_n(A) $$ Fijar un $x \in [0,1]$ y establezca $E_n$ para el intervalo de $I_{i,n}$ que contiene $x$. A continuación, $E_n$ "encoge muy bien" a $x$ (como se define por Rudin). Por la diferenciación de Lebesgue teorema, $f_n$ converge a.e. a ${\bf1}_A$ $$f_n \rightarrow {\bf1}_A ~~~ \rm a.e.$$ donde ${\bf1}_A$ es la función de indicador de $A$. Porque el cuadrado es continua $$f_n^2 \rightarrow {\bf1}^2_A = {\bf1}_A ~~~ \rm a.e.$$

Obviamente $|f_n^2| \le {\bf1}$, por lo que por el Lebesgue teorema de convergencia dominada $$\int_0^1 f_n^2 \,dx \rightarrow \int_0^1 {\bf1}_A \,dx ~~=~~ \mu(A) = 1/2$$

Como seguimiento, ¿alguien sabe de un conjunto $A$, donde la diferencia entre estas integrales se va a $0$ más lento que el de $O(1/n)$ ? Por ejemplo, $O(1/\sqrt n )$ ? Terry Tao ha escrito que la convergencia puede ser arbitrariamente lento, pero yo no soy capaz de hacer un ejemplo.