Es $f$ necesariamente medibles?

Question

(1) Supongamos que una función de $f$ tiene un [Lebesgue] medibles de dominio y es continua salvo en un número finito de puntos. Es $f$ es necesariamente [Lebesgue] mensurable?
Comentarios (1), Si $f$ se define en [Lebesgue] conjunto medible $E$ y es continuo a excepción de un número finito de valores de decir $x_1,x_2, ... x_n$ son los puntos de discontinuidad, entonces no podemos describir las pre-imágenes de $f$ así como de un número finito de unión de las pre-imágenes de la colección de funciones continuas $\{f_i\}_{i=1}^{n}$, donde cada una de las $f_i$ se define entre cada punto de discontinuidad de la $f$? O me estoy perdiendo algo aquí?

(2) Suponga que la función de $f$ se define sobre un conjunto medible $E$ y tiene la propiedad de que $\{x \in E | f(x) > c\}$ es medible para cada número racional $c$. Es $f$ necesariamente [Lebesgue] mensurable?
Comentarios tengo esto, gracias a todos los que comentaron.

Todas las sugerencias se agradece. El texto utilizado es el Royden-Fitzpatrick 4ª Edición.

Answer 1

(2) es verdadera, esto no contradice la proposición 1 (Página 54), es solo una forma equivalente de la proposición 1.

Supongamos $\{x\in E : f(x)>c\}$ medibles para cada racional $c$. Deje $r\in\mathbb{R}$, entonces existe una secuencia $\{c_n\}$ de los números racionales tales que $c_n\to r$ $c_n\geq r$ todos los $n\in\mathbb{N}$. Tenga en cuenta que

$$A=\{x\in E : f(x)>r\}=\{x\in E : f(x)\leq r\}^c=\left(\bigcap\{x\in E : f(x)\leq c_n\}\right)^c=\bigcup \{x\in E : f(x)> c_n\}$$

Por lo tanto $A$ es medible. Prueba (1) por sí mismo.

(1) Cuando dices "donde cada una de las $f_i$ está definido hasta entre cada punto de discontinuidad de la $f$" usted está equivocado, $E$ no necesariamente tiene un buen fin, sólo sabemos que $E$ es un espacio topológico. Si usted no asuma que cada conjunto abierto en una topología de espacio deben ser medibles, (1) es obviamente falso (de hecho, la proposición 3 en página 55 Royden 4ª ed. fallará). La palabra correcta en este Royden Capítulo es Lebesgue Medible funciones en lugar de la función medible, entonces sabemos que $E\subset\mathbb{R}$.

Si $E\subset\mathbb{R}$ (1) es verdadera. En lugar de considerar $f_n$ considerar simplemente la $f|\{E\setminus{x_1,\ldots,x_n}\}$, definir $f(x_i)=y_i\in\mathbb{R}$. Lo que sucede cuando un intervalo abierto $I$ contiene algunos de $y_i$? (en este caso es mucho más fácil trabajar con $y_n$ en lugar de $x_n$)

Cómo falla "preimagen de un conjunto abierto es abierto" cuando una función continua $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tiene un número finito de discontinuidades?. Tenga en cuenta que el único caso de la preimagen de un intervalo abierto que no es un conjunto abierto corresponden a intervalos cerrados, semi-abierto intervalos (por ejemplo, en $[a,b)$) o numerable de unión de ellos, de modo que no sólo la función de $f$ es medible, también es Borel medible (preimagen de abrir los conjuntos de Borel Medible).

En cualquier espacio topológico $(X,\tau)$ donde cada conjunto abierto es medible, y considerar como medibles establece el Borel $\sigma$-álgebra (la más pequeña sigma álgebra que contiene los bloques abiertos) no sé si (1) es verdadera.

Answer 2

Lo que acerca de esto para la primera pregunta:

Deje $A$ ser medible dominio de $f$ y deje $X=\{x_i\}_{i=1}^n$ ser el conjunto finito de discontinuidades. Desde $|X|$ es finito, se puede ordenar desde el más pequeño, decir $x_1$, hasta el más grande, dice $x_n$. A continuación, para $1\le i\le n+1$ definir $$ A_i=A\cap (x_{i-1},x_i), $$ donde$x_0=-\infty$$x_{n+1}=\infty$. Observar que cada una de las $A_i$ es medible y $$ \{x\in A\,:\, f(x)>c\}=\left(\bigcup_{i=1}^{n+1}\{x\in A_i\,:\, f(x)>c\}\right) \cup \{x\X\,:\,f(x)>c\} $$ Para cada una de las $c$, cada conjunto en el indexado de la unión es medible (debido a $f$ es medible en cada A_i) y cada subconjunto de $X$ está vacío o contiene no más de $n$ puntos y por lo tanto es medible así.