Los valores propios de una Matriz de Hermición no se cruzan

Question

El artículo de Wikipedia sobre evitó el cruce afirma que "Los valores propios de una matriz hermitiana que dependen de N parámetros reales continuos no pueden cruzarse excepto en un múltiplo de dimensiones N-2".

Si es cierto, ¿alguien tiene una prueba elegante de esta declaración? ¿Alguien tiene una buena interpretación o una buena intuición de por qué esto sería cierto?

Answer 1

Se trata con detalle en el libro de Lax sobre álgebra lineal. Es una afirmación sobre lo que ocurre genéricamente (y es fácil producir contraejemplos a la afirmación general).

Answer 2

Como dice WimC, los valores propios de $\left( \begin{smallmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{smallmatrix} \right)$ colisionan en codimensión uno. Por tanto, esta afirmación no siempre es cierta.

Por otro lado, dejemos que $H$ sea el espacio de $n \times n$ matrices hermitianas, que es un espacio vectorial real de dimensión $n^2$ . Sea $\Delta \subset H$ sea el lugar donde colisionan dos de los valores propios. Entonces $\dim \Delta = n^2 -3$ . Si tenemos una familia de matrices hermitianas parametrizadas por algún conjunto de parámetros $B$ , entonces obtenemos un mapa $\phi: B \to H$ y nos interesa la dimensión de $\phi^{-1}(\Delta)$ . Genéricamente, deberíamos esperar que la imagen de $\phi$ para que sea transversal a $\Delta$ por lo que deberíamos esperar $\phi^{-1}(\Delta)$ para ser de codimensión $3$ . No veo de dónde saca Wikipedia la codimensión $2$ número.

Cálculo de la dimensión de $\Delta$ : El grupo unitario $U_n$ actúa sobre $H$ y $\Delta$ es una unión de $U_n$ órbitas. El subconjunto de $\Delta$ donde precisamente dos de los valores propios colisionan es denso en $\Delta$ . Así pues, calculemos la dimensión del espacio en el que colisionan precisamente dos valores propios.

El espacio de matrices con valores propios $\lambda_1$ , $\lambda_2$ , ..., $\lambda_{n-2}$ , $\mu$ , $\mu$ es un $U_n$ orbital. El estabilizador de $\mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_{n-2}, \mu, \mu)$ es $U(1)^{n-2} \times U(2)$ de dimensión $(n-2) + 4=n+2$ . Así que el tamaño de la órbita es $n^2 - n -2$ . Hay $n-1$ formas de elegir los parámetros $\lambda_1$ , $\lambda_2$ , ..., $\lambda_{n-2}$ , $\mu$ . Así que $\dim \Delta = (n^2-n-2)+(n-1) = n^2-3$ .