Demostrar que $\frac{1}{n + 1}{2n\choose n}$ es un número entero positivo para $n \ge 0$ .

Question

He intentado utilizar la identidad del triángulo de Pascal para ayudar, pero no sé cómo tratar $\frac{1}{n+1}$ .

Answer 1

El enfoque combinatorio consiste en observar que $\frac1{n+1} \binom{2n}{n}$ es el $n^{\text{th}}$ Número catalán , por lo que es un número entero porque cuenta algo.

Algebraicamente, una posible aproximación es notar que $$ \frac1{n+1} \binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{n!\,(n+1)!} = \frac1{2n+1} \binom{2n+1}{n}. $$ Por la expresión de la izquierda, sabemos que el denominador de la fracción es un divisor de $n+1$ . Por la expresión correcta, sabemos que el denominador es un divisor de $2n+1$ .

Pero el único entero positivo que es divisor de ambos $n+1$ y $2n+1$ es $1$ Una forma de ver esto es que un divisor de $n+1$ y $2n+1$ es un divisor de $2(n+1)-1(2n+1) = 1$ . Así que el denominador sólo puede ser $1$ la fracción es un número entero.

Answer 2

Enfoque 1:

Tenga en cuenta que $$ \frac{2n+1}{n+1}\overbrace{\ \ \binom{2n}{n}\ \ }^{\large\frac{(2n)!}{n!\,n!}}=\overbrace{\binom{2n+1}{n+1}}^{\large\frac{(2n+1)!}{(n+1)!\,n!}} $$ Entonces, porque $\frac1{n+1}=2-\frac{2n+1}{n+1}$ tenemos $$ \begin{align} \frac1{n+1}\binom{2n}{n} &=2\binom{2n}{n}-\frac{2n+1}{n+1}\binom{2n}{n}\\ &=2\binom{2n}{n}-\binom{2n+1}{n+1} \end{align} $$

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Enfoque 2:

Tenga en cuenta que $$ \frac{n}{n+1}\overbrace{\ \ \binom{2n}{n}\ \ }^{\large\frac{(2n)!}{n!\,n!}}=\overbrace{\binom{2n}{n+1}}^{\large\frac{(2n)!}{(n+1)!\,(n-1)!}} $$ Entonces, porque $\frac1{n+1}=1-\frac{n}{n+1}$ tenemos $$ \begin{align} \frac1{n+1}\binom{2n}{n} &=\binom{2n}{n}-\frac{n}{n+1}\binom{2n}{n}\\ &=\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n+1} \end{align} $$