¿Cómo puede ser cierto que la $|z|^2 = 1$ por cada número complejo $z$?

Question

$$z=x+iy$$ $$\frac{z}{1+z}=\frac{z\bar{z}}{\bar{z}+z\bar{z}}=\frac{|z|^2}{|z|^2+\bar{z}}$$ $$z\bar{z}=|z|^2\implies\bar{z}=\frac{|z|^2}{z}$$ $$\Rightarrow \frac{|z|^2}{|z|^2+\bar{z}}=\frac{|z|^2}{|z|^2+\frac{|z|^2}{z}}=|z|^2\Bigg(\frac{1}{1+\frac{1}{z}}\Bigg)=|z|^2\Bigg(\frac{1}{\frac{z+1}{z}}\Bigg)=|z|^2\Bigg(\frac{z}{z+1}\Bigg)$$ $$\boxed{\therefore \Bigg(\frac{z}{1+z}\Bigg)=|z|^2\Bigg(\frac{z}{1+z}\Bigg)}$$

Esto implica que $|z|^2=1$. Todo sale bien pero el resultado parece extraño, en el sentido de que es la respuesta correcta, entonces? $$|z|=1 ; \,x,y\in ℝ$$

Answer 1

Este paso es incorrecto: $$\frac{|z|^2}{|z|^2+\frac{|z|^2}{z}}=|z|^2\Bigg(\frac{1}{1+\frac{1}{z}}\Bigg).$$ You have factored $|z|^2$ out of both the numerator and denominator, so the right side should be $$\frac{|z|^2}{|z|^2}\Bigg(\frac{1}{1+\frac{1}{z}}\Bigg)$$ en su lugar.

(También, hay un problema con la división por $0$ si $z=0$ o $z=-1$, pero este es menor).

Answer 2

No, la segunda igualdad en la cuarta línea no es válido. Si usted retire $|z|^2$ desde su lado derecho, está bien.

Answer 3

su error radica en esta línea:

$\frac {|z|^2}{|z|^2 + \frac {|z|^2}{z}} = \frac {1}{1 + \frac {1}{z}}$

(al menos si $z\ne 0$)