Demostrar que entre dos desigual de los números racionales hay otro racional

Question

Entiendo que es probablemente una pregunta que los usuarios de este sitio sería vista como primaria, pero yo sólo han mojado mis pies en las aguas de la prueba de problemas. Puede alguien por favor decirme si mi prueba es válida?

Supongamos que se tienen dos números racionales $m/n$ $p/q$ donde $m$,$n$,$p$, y $q$ son enteros, y $nq$ no es igual a cero.

$(m/n)<(p/q)$

$(p/q)-(m/n)=((pn-mq)/nq))$

La diferencia entre los dos números es un número racional. Dos multiplicado racionales tiene un producto de rational, y por lo que si multiplicamos el (racional) diferencia por un número racional $>0$ $<1$ y añadir este producto a $(m/n)$ tenemos un número racional entre los dos racionales.

Answer 1

La prueba es correcta. Un enfoque similar es simplemente tomando el promedio de los dos números racionales (que es un número racional).

EDIT: Como se ha señalado, el promedio está dado por tomar el número racional a ser $\frac12$ a multiplicar la diferencia (con el uso del método).

Answer 2

Respuesta corta: Si $a$ $b$ son racionales así es $\frac{a+b}{2}$.

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Respuesta larga:

Como usted dijo que usted puede construir un intermedio racional como esto: $c=\min(a,b) + q |a-b|$ donde $0<q<1$. $\min(a,b)<c<\max(a,b)$. Mi respuesta corta es para $q=\frac 12$.

Un ejemplo para hacer una prueba más formal:

1. Demostrar que la suma y el producto de dos números racionales son números racionales.
2. Uso 1. para la construcción de un número racional estrictamente entre a y b. Por ejemplo: $\min(a,b) + q |a-b|$ donde $0<q<1$ es racional ser racional.

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Extensión: Con $q=\frac 1n$ $n \geq 2$ entero que en realidad iba a demostrar que existe una cantidad infinita de números racionales entre dos números racionales.

Answer 3

La prueba es correcta, pero aquí hay un hecho curioso que le da otro 'bonito' valor intermedio que no es el promedio de:

$\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}$ para todos los enteros $a,c$ y enteros positivos $b,d$ tal que $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$.

Usted puede probar fácilmente que esta desigualdad. Tenga en cuenta que este hecho se resuelve la pregunta original, porque cada racional es igual a un número entero dividido por algún entero positivo.

Este intermedio fracción que tiene algunas propiedades. Por ejemplo, su denominador es el más pequeño posible si $ad+1 = bc$.