Resolver la desigualdad $\left|\frac{1-a}{1+a}\right|<1$

Question

Son estos métodos correctos? Que es mejor?

Primer Método: $$\left|\frac{1-a}{1+a}\right|<1\Rightarrow |1-a|<|1+a|\Rightarrow(1-a)^2<(1+a)^2\Rightarrow -2a< 2a\Rightarrow 4a>0\Rightarrow \boldsymbol{a>0}$$

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Segundo Método

$$\left|\frac{1-a}{1+a}\right|<1$$ $$-1<\frac{1-a}{1+a}<1\Rightarrow$$ $$0<\frac{2}{1+a}\,\hspace{0.25cm} \text{and}\hspace{0.25cm} \frac{2a}{1+a}>0 $$ $$a>-1\,\hspace{0.25cm} \text{and}\hspace{0.25cm} (a<-1 \hspace{0.25 cm} \text{or} \hspace{0.25cm}a>0) $$ $$\boldsymbol{a>0}$$

Answer 1

El tercer método

$|1-z|<|1+z|$

Set $A=(-1,0)$ $B=(1,0)$ $M=(x,y)$ $z=x+iy$

Buscar $M$ en el plano de tal manera que $BM<AM$, estos son los puntos en la mitad del plano delimitada por la perpendicular bissector de $[AB]$ ( $x=0$ ) y más a $B$, es decir,$x>0$.

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Nota: para el caso real sólo

Acaba de poner a $A=-1$ $B=+1$ sobre la recta real y la búsqueda para $M$ tal que $BM<AM$, lo $M$ está en el derecho de $I=0$ la media de $[AB]$.

La condición es, pues,$a>0$.

Answer 2

Dado que ninguno de los más antiguos de dos respuestas direcciones OP dos peticiones al principio del post, he puesto otra respuesta para la diversión.

Son estos métodos correctos?

Sí, definitivamente, porque cada implicación es irrefutable. Sin embargo, son incompletas porque uno tiene que encontrar todas las $a$ la satisfacción de la desigualdad. OP ha demostrado que

$$\left|\frac{1-a}{1+a}\right|<1 \implies a > 0,$$

pero, ¿cada una de las $a>0$ satisfacer esta desigualdad? --- Esta es la parte faltante de la OP del intento.

Para completar la solución, podemos demostrar el recíproco de la sobre implicación.

• $a \ge 1$: $\left|\dfrac{1-a}{1+a}\right| = \dfrac{a-1}{1+a} = 1 - \dfrac{2}{1+a} < 1$
• $0 < a < 1$: $\left|\dfrac{1-a}{1+a}\right| = \dfrac{1-a}{1+a}$. El numerador $1-a \in (0,1)$ y el denominador $1+a > 1$, lo $\dfrac{1-a}{1+a} < 1$.

Que es mejor?

El primero es más concisa, y yo personalmente prefiero esta uno en este caso. Sin embargo, el segundo es más flexible e informativo: en primer lugar, se da más información acerca de la positividad de la fracción $\dfrac{1-a}{1+a}$ sí por la descomposición en varios casos. Segundo, el primer método (cuadratura y comparar los dos polinomios cuadráticos en $a$) funciona bien si

• el coeficiente de $a$, tanto en el numerador y el denominador son iguales; o
• la diferencia de los cuadrados de tanto el numerador y el denominador pueden ser factorizados (en $\Bbb{R}$, mediante la resolución de las raíces).

De lo contrario, yo creo que el primer método no ahorramos trabajo.

Answer 3

Yo siempre iba a sugerir bosquejar las gráficas.

Dibujar los gráficos $y=|1-x|$ $y=|1+x|$ y dejar que el gráfico de hacer el resto.

Answer 4

Ambos métodos están bien. Yo voto por el 1.st. Es shorther.

Usted podría hacer también como este:

$$ |{2\over 1+a}-1|<1$$ lo $$ -1<{2\over 1+a}-1<1$$ lo $$ 0<{2\over 1+a}<2$$

Desde la izquierda de la desigualdad nos deudce que $1+a>0$, por lo que tenemos $2< 2a+2$ o $a>0$.