Si $d$ es la falta de grado, el apretón de manos Lema implica que $1+2+3+4+5+6+7+d=28+d$ es aún, por lo $d$ es incluso. Dado que el grado-$7$ vértice es adyacente a ella, $d>0$ e lo $d \in \{2,4,6\}$.
Si $d=6$, entonces el vértice de grado $7$ (que es adyacente a todos los demás vértices) y los dos vértices de grado $6$ (que están al lado de todas todos los otros vértices, excepto en el grado-$1$ vértice) son adyacentes al vértice de grado $2$, dando una contradicción.
Si $d=2$, entonces los vértices de grados $6$ $7$ son adyacentes a ambos de los dos vértices de grado $2$, y el vértice de grado $5$ es adyacente a uno de los vértices de grado $2$, dando una contradicción.
Si $d=4$, entonces la gráfica de abajo tiene un grado de secuencia $(1,2,3,4,4,5,6,7)$:
![A graph with degree sequence (1,2,3,4,4,5,6,7)]()
(Me marca los vértices con sus grados. Yo también le dan un $5$colorear.)
En realidad, es el único hasta el isomorfismo.
Los vértices de grados $4,4,5,6,7$ inducir una $K_5$, por lo que no planar por el teorema de Kuratowski (o Wagner del teorema), y su cromática número es menor que $5$. Yo también le dan un $5$colorear, por lo que su cromática número es $5$.
De hecho, la computación cromática polinomio, tenemos $$x(x-1)^2(x-2)^2(x-3)^2(x-4).$$ By substituting in $x=5$, we count $2880$ distinct $5$-los colorantes.
Esto se puede comprobar con la mano: hay $x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ formas de $x$-color de la $K_5$, entonces, ya que el todavía-a-ser-color vértices son sólo adyacentes a los vértices de la $K_5$, el grado-$3$ vértice es de color usando $x-3$ colores, el grado-$2$ vértice es de color usando $x-2$ colores, y el grado-$1$ vértice es de color usando $x-1$ colores.
