polinomio

Question

Determinar el polinomio de $p(x)$ s.t. $p(x) = p(x+3)$.

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Con sólo mirar la ecuación anterior, inmediatamente aparece que p tiene que ser algún tipo de función constante. Pensé que podría ser también una función periódica pero, corregir mí como yo estoy equivocado, polinomios generalmente no son funciones periódicas y una función constante es el más cercano a una especie de función periódica (sin el punto).

Mi problema ahora es encontrar la manera de mostrar esto. Alguien insinuó que yo podría ser capaz de hacerlo considerando el polinomio $$q(x) = p (x) - p(x+3)$$ Este se expande a algo como
$$q (x) = a_n(x^n - (x+3)^n) + a_{n-1}(x^{n-1}-(x+3)^{n-1})...+ 3 a_1$$

De todos modos, los pensamientos sobre dónde ir a partir de aquí son apreciados.

Answer 1

Sugerencia $\ $ $\rm\:p(x)\:$ es constante $\rm = p(0)\:$ desde $\rm\:p(x)-p(0)\:$ tiene una infinidad de raíces $\rm\:x = 0,3,6,9\ldots$, por tanto, el polinomio cero.

Comentario $\ $ presumo que su polinomio tiene coeficientes sobre algún campo como $\rm\:\Bbb Q, \Bbb R, \Bbb C,\:$ donde el subconjunto $\rm\{0,3,6,\ldots\}$ es infinito. Es posible que no de otra manera, por ejemplo, $\rm\:p(x\!+\!3) = p(x)\:$ para todos los polinomios de más de $\rm\,\Bbb Z/3 =$ enteros mod $3.$

Por lo general, que un polinomio con más raíces de su grado debe ser el cero del polinomio, es equivalente a: $ $ el coeficiente de anillo de $\rm\,R\,$ es una integral de dominio, es decir, para todos $\rm\:\forall a,b\in R\!:\:$ $\rm\: ab=0\:\Rightarrow\:a=0\ \ or\ \ b=0.$

Answer 2

Una adición a las otras respuestas. No especifique un campo. En positivo característico $p \ne 3$ existen polinomios no constantes con esta propiedad, por ejemplo $$ x (x + 3) (x + 3 \cdot 2) \dots (x + 3 (p-1)). $$

Característica $3$ la condición por supuesto es para todos los polinomios.

Answer 3

Todas las respuestas anteriores son algebraicas. Vamos a obtener algunos argumento de cálculo:

Cada polinomio no constante tiene $\lim\limits_{x\to\infty} p(x)=\pm\infty$. Pero para un polinomio con $p(x)=p(x+3)$, se puede tomar la secuencia $x_n=x_0+3\cdot n$, que claramente avanza a $\infty$ $p(x_n)=p(x_{n-1}+3)=p(x_{n-1})=\ldots=p(x_0)$, que es una secuencia constante los rendimientos. Así para este polinomio $p(x)$ $\lim\limits_{x\to\infty} p(x)=\pm\infty$ es claramente erróneo y el polinomio debe ser constante.

Answer 4

Matemáticas Gemas respuesta es lo que estás buscando. Sin embargo, yo sólo quería añadir algo interesante. Estoy suponiendo que el $x$ en tu pregunta es un número real, integer, etc. Sin embargo, si usted permite que $x$ a ser un elemento de un campo finito, entonces no se sigue que "periódico" polinomios debe ser cero. Por ejemplo, considere la posibilidad de, $p(x)=x^{p}-x \in \Bbb F_{p}[x]$, entonces:

$p(x+3)=(x+3)^{p}-(x+3)=x^{p}+3^{p}-x-3=x^{p}+3-x-3=x^{p}-x=p(x)$.

Los hechos importantes aquí son en un campo de característica $p$, $(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}$ y $a^{p}=a$. También, el $3$ no era particularmente importante aquí, y podría ser reemplazado por cualquier número entero.