Demostrar que $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{(n!)^\frac{1}{n}} = e $

Question

Me han resuelto el problema en tan solo 2 líneas con un teorema que afirma que

"Vamos a ${u_n}$ ser una verdadera secuencia tal que $u_n > 0 \forall n \in \mathbb{N}$ $\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \ell$ (finito de lo infinito). A continuación,$\lim_{n \to \infty} (u_n)^{1 \over n} =\ell$ "

Para probar el mencionado límite, puedo solucionar $u_n={n^n \over n!}$. A continuación,$u_n>0 \forall n \in \mathbb{N}$$\lim_{n \to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}= \lim_{n \to \infty}(1+{1 \over n})^n=e$.

Entonces se sigue del teorema anterior que $\lim_{n \to \infty} (u_n)^{1 \over n} =e$ es decir $ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{(n!)^\frac{1}{n}} = e $. (Probado)

Pero estoy tratando de probar sin usar el teorema. Estoy tratando de conseguir un genérico de prueba.

¿Alguien puede proporcionar un adecuado wayout para esto?

Gracias por su ayuda de antemano.

Answer 1

EDIT: Como se señaló en los comentarios, aunque la última desigualdad es correcta, es insuficiente, ya que $(n+1)^{1/n} \to 1$$n \to \infty$. El límite inferior puede ser obtenida, como se muestra en @adfriedman la respuesta.

Aquí está mi opinión sobre ella: Siempre que $n \geq 3$, tenemos $$ n^n \geq (n+1)!, $$ y así $$ n^n \geq (n+1)n! \quad \Leftrightarrow \quad \frac{n}{n!^{\frac{1}{n}}} \geq (n+1)^{\frac{1}{n}}. $$ Por otro lado, la expansión de Taylor de $e^n$ da $$ \frac{n^n}{n!} \leq \sum_{k=0}^{\infty} \frac{n^k}{k!} = e^n \quad \Leftrightarrow \quad \frac{n}{n!^{\frac{1}{n}}} \leq e. $$ Así, $$ (n+1)^{\frac{1}{n}} \leq \frac{n}{n!^{\frac{1}{n}}} \leq e. $$ Aplicar el Teorema del sándwich.

Answer 2

Sugerencia.

El uso de la Stirling aproximación asintótica de la fórmula

$$ n! = \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n(1+O(1/n)) $$

porque

$$ \frac{n}{(n!)^{1/n}}= \frac{n}{(2\pi n)^{1/(2n)}(n/e)}(1+O(1/n)) = \frac{e}{(2\pi n)^{1/(2n)}}(1+O(1/n)) $$

por lo tanto

$$ \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{(n!)^{1/n}} = e $$

Answer 3

En primer lugar, escribir $$\ln\left(\frac{n}{(n!)^{1/n}}\right) =\ln(n) - \tfrac{1}{n}\ln(n!) = \ln(n) - \tfrac1n \sum_{k=1}^n \ln(k) = \ln(n) - \tfrac1n S_n$$

Considerar superior e inferior de las aproximaciones de la integral de $\ln(x)$:

$$S_n = \sum_{k=1}^n \ln(k) \leq \int_1^{n+1}\ln(x)\;dx \leq \sum_{k=2}^{n+1}\ln(k) = S_n + \ln(n+1)$$ Por lo tanto $$S_n \leq \int_1^{n+1}\ln(x)\;dx = \left[ x\ln(x)-x \right]_1^{n+1} = (n+1)\ln(n+1) - n$$ and $$\int_1^{n+1}\ln(x)\;dx - \ln(n+1) = n\ln(n+1) - n \leq S_n$$

De la siguiente manera: $$\ln(n)-\tfrac1n \big((n+1)\ln(n+1) - n\big) \leq \ln(n) - \tfrac1n S_n \leq \ln(n) - \tfrac1n\big(n\ln(n+1) - n\big) $$ que se simplifica a $$\ln\Bigg(\underbrace{\frac{n}{(n+1)^{1+\tfrac1n}}}_{\ \ ; 1}\Bigg) + 1 \leq \ln(n)- \tfrac1n S_n \leq \ln\Bigg(\underbrace{\frac{n}{n+1}}_{\\; 1}\Bigg) + 1$$

Por el teorema del sándwich $\ln\left(\frac{n}{(n!)^{1/n}}\right) = \ln(n) - \tfrac1n S_n \to 1$ como el registro de términos en ambos lados enfoque de $\ln(1) = 0$, por lo tanto $$\frac{n}{(n!)^{1/n}} = \exp\left(\ln\left(\frac{n}{(n!)^{1/n}}\right)\right) \to \exp(1) = e$$