Dejemos que $$y=\cos \phi+i\sin \phi \tag{1}$$
Diferenciando ambos lados de la ecuación (1) con respecto a $\phi$ obtenemos,
$$\begin{align} \frac{dy}{d\phi} &=-\sin \phi+i\cos \phi \\ &=i(\cos \phi-\frac{1}{i}\sin \phi) \\ &=i(\cos\phi+i\sin \phi) \\ &=iy \\ \implies\frac{1}{y}dy &=i\;d\phi \tag{2} \end{align}$$
Integrando ambos lados de la ecuación (2), obtenemos,
$$\begin{align} \int\frac{1}{y}dy&=\int i\;d\phi \\ \implies \ln(y)&=i\phi+c \tag{3} \end{align}$$
Sustituyendo $\phi=0$ en la ecuación (1), obtenemos,
$$y=\cos 0+i\sin 0 \implies y=1 \tag{4}$$
Sustituyendo $\phi=0$ y $y=1$ en la ecuación (3) obtenemos,
$$\ln(1)=c \implies c=0 \tag{5}$$
Sustituyendo $c=0$ en la ecuación (3) obtenemos,
$$\begin{align} \ln(y)&=i\phi \tag{6}\\ \implies e^{i\phi}&=y \tag{7}\\ \therefore e^{i\phi}&=\cos \phi+i\sin \phi \tag{8} \end{align}$$
Encontré esta prueba en un libro. Creo que hay un problema. En $(3)$ y $(6)$ no debería $\ln(y)$ sea $\ln|y|$ en su lugar? O es que, para los números complejos, no tomamos el valor absoluto del número dentro del $\ln$ ?
