Parcial fracciones integral. Calcular $\int_{0}^{1} \frac {x^4+1}{x^6+1}dx$

Question

Evaluar $\int_{0}^{1} \frac {x^4+1}{x^6+1}dx$.

Yo directamente se acercó a esta con parciales de fracciones y reescrito $x^6+1=(x^2)^3+1=(x^2+1)(x^4+x^2+1)$.

Por lo tanto la integral es:

$$\int_{0}^{1} \frac {x^4+1}{(x^2+1)(x^4+x^2+1)}dx=-2\int_{0}^{1} \frac {x}{1+x^2}dx+2\int_{0}^{1}\frac 1{1+x^2}dx-\int_{0}^1\frac {(x-1)^2}{(x^2+1)^2+(\frac {\sqrt{3}}2)^2}dx$$

Pero no sé cómo resolver el último término.

He respondido a la pregunta... me di cuenta de mi tonto error, lo siento por molestar...

Answer 1

Conjunto $x^2=y$ $$\dfrac{y^2+1}{y^3+1}=\dfrac A{y+1}+\dfrac{By+C}{y^2-y+1}$$

$$y^2=y^2(A+B)+y(B+C-A)+A+C$$

$\implies A+C=1\iff C=1-A, B+C=A\implies B=A-C=2A-1,$

$1=A+B=3A-1\iff A=\dfrac23, B=\dfrac13,C=\dfrac13$

$$\implies\dfrac{x^4+1}{x^6+1}=\dfrac1{3(x^2+1)}+\dfrac{x^2+1}{3(x^4-x^2+1)}$$

Ahora $\dfrac{x^2+1}{x^4-x^2+1}=\dfrac{1+\dfrac1{x^2}}{\left(x-\dfrac1x\right)^2+1}$

set $x-\dfrac1x=u$

Answer 2

Tenga en cuenta que $x^6+1=(x^2)^3+1=(x^2+1)(x^4-x^2+1)$ y utilice el hecho de que se están integrando más de $[0,1]$, $$\int_0^1 \frac{x^4+1\pm x^2}{x^6+1}dx =\int_0^1 \frac{x^4-x^2+1}{x^6+1}dx+ \frac{1}{3}\int_0^1 \frac{3x^2}{x^6+1}dx\\=\int_0^1 \frac{1}{x^2+1}dx+ \frac{1}{3}\int_0^1 \frac{1}{t^2+1}dt=\left(1+\frac{1}{3}\right)\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3}$$ donde, en la segunda integral, $t=x^3$.

Answer 3

Lo siento, pero tuve un error muy estúpido y ahora he resuelto la integral es muy fácil...

Así que esto es lo que yo hice:

$$I=\int_0^1 \frac {x^4+1}{(x^2)^3+1}dx=\int_0^1\frac{(x^2+1)^2-2x^2}{(x^2+1)(x^4-x^2+1)}dx$$

a continuación, dividimos arriba y abajo por la $x^2$ y separar las integrales... obtenemos:

$$I=\int_0^1\frac{1+\frac 1{x^2}}{(x-\frac 1x)^2+1}dx-2\int_0^1\frac{x^2}{(x^3)^2+1}dx$$

y este es:

$$I=arctan(x-\frac 1x)-\frac 23arctan(x^3)$$

que de$0$$1$, obtenemos: $I=\frac \pi3.$