He aquí mis dos centavos.
Por Qué Mienten Álgebras?
Primero voy a hablar de álgebras de Lie. Estos captura de casi toda la información sobre el grupo subyacente. La única información que se omite es el discreto simetrías de la teoría. Pero en la mecánica cuántica nos suelen tratar con estos por separado, así que está bien.
La Lorentz Mentira Álgebra
Resulta que el álgebra de Lie del grupo de Lorentz es isomorfo a la de $SL(2,\mathbb{C})$. Matemáticamente que escribo esto (usando Fraktur fuente de álgebras de Lie)
$$\mathfrak{so}(3,1)\cong \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$$
Esto tiene sentido ya que los $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ no es compacto, como el grupo de Lorentz.
En representación de la Situación
Cuando hacemos la mecánica cuántica, queremos que nuestros estados unidos para vivir en un espacio vectorial que se forma una representación de nuestro grupo de simetría. Vivimos en un mundo real, por lo que debemos considerar real representaciones de $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$.
Un poco de pensamiento va a convencer a usted de la siguiente.
Hecho: real representaciones de una Mentira álgebra en una correspondencia uno a uno (bijection) con complejo de representaciones de su complejización.
Eso suena muy técnico, pero es realmente simple. Simplemente dice que puede tener complejo de espacios vectoriales para nuestro mecánica cuántica estados unidos! Es decir, siempre utilizamos los coeficientes complejos de nuestra Mentira álgebra $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$.
Cuando nos complejizar $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ obtenemos una suma directa de dos ejemplares de la misma. Matemáticamente podemos escribir
$$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})_{\mathbb{C}} = \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}) \oplus \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$$
Entonces, ¿Dónde Se $SU(2)$?
Por lo tanto, estamos buscando complejo de representaciones de $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}) \oplus \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$. Pero estos solo vienen de un producto tensor de dos representaciones de $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$. Estos son por lo general marcados por un par de números, como así
$$|\psi \rangle \textrm{ lives in the } (i,j) \textrm{ representation of } \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}) \oplus \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$$
Entonces, ¿cuáles son las posibles representaciones de $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$? Aquí podemos usar nuestra realidad de nuevo. Resulta que $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ es la complejización de la $\mathfrak{su}(2)$. Pero sabemos que el real representaciones de $\mathfrak{su}(2)$ son los spin representaciones!
Así que en realidad los números de $i$ $j$ etiqueta el momento angular de espín y de partículas. Desde esta perspectiva se puede ver que el spin es una consecuencia de la relatividad especial!
¿Qué acerca de la Compacidad?
Este tortuoso viaje muestra de que las cosas no son realmente tan simple como Ryder hace. Usted tiene toda la razón
$$\mathfrak{su}(2)\oplus \mathfrak{su}(2) \neq \mathfrak{so}(3,1)$$
desde el LHS es compacta pero a la HR no! Pero mis argumentos anteriores muestran que la compacidad no es una propiedad que sobrevive a la complejización procedimiento. Es mi "hecho" de arriba que une todo junto.
Curiosamente, en Euclidiana firma uno tiene que
$$\mathfrak{su}(2)\oplus \mathfrak{su}(2) = \mathfrak{so}(4)$$
Usted puede saber que el QFT está estrechamente relacionada con la física estadística a través de la Mecha de la rotación. Por lo que esta observación demuestra que la Ryder intuitiva de la historia es buena, incluso si su matemáticos afirmación es imprecisa.
Déjeme saber si usted necesita más ayuda!
