Dada una integral de dominio , podemos construir su campo de fracciones.Pero si se les da un campo de $K$ , ¿cómo se puede saber cuáles son los intergal dominios de tal manera que su campo de fracciones se $K$? Podemos constuct ellos? Por ejemplo , para el complejo campo de la $\mathbb{C}$ ,¿ existen intergal dominios de tal manera que su campo de fracciones se $\mathbb{C}$? Si no existe, ¿cómo muchos tipos de ellos hasta el isomorfismo?
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user120527
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Deje $\mathcal{E}$ el conjunto de subrings $\mathcal{O}$ $\mathbb{C}$ que no contengan $1/2$. El conjunto $\mathcal{E}$ no está vacío, ya que contiene $\mathbb{Z}$. Si $(\mathcal{O}_i)_{i\in I}\subset \mathcal{E}$ es totalmente ordenado (por inclusión) subconjunto de $\mathcal{E}$, $\cup_{i\in I} \mathcal{O}_i$ es un anillo, que no contengan $1/2$, por lo que es en $\mathcal{E}$ y un límite superior para todas las $\mathcal{O}_i$ .
Así que el Lema de Zorn se aplica: existe una máxima sub-anillo $\mathcal{O}\subset \mathbb{C}$, que no contengan $1/2$.
Deje $k$ a ser el campo de la fracción de $\mathcal{O}$. Queremos demostrar que $k=\mathbb{C}$.
De lo contrario, existiría $x\in \mathbb{C}-k$. Desde $\mathcal{O}[x]\neq \mathcal{O}$, maximality de $\mathcal{O}$ significa que $1/2\in \mathcal{O}[x]$. de modo que existe $n\geq 1$$a_i \in \mathcal{O}$, de tal manera que
$$\frac12=a_0+a_1 x + ...+ a_n x^n.$$
Por lo $x$ es algebraico sobre $k$, de grado $d\geq 2$ desde $x\notin k$. Nos gustaría reemplazar a $x$ por un múltiplo $y=bx$, $b\in \mathcal{O}-\{0\}$, de modo que el polinomio mínimo de a $y$ ha coeficientes en $\mathcal{O}$. Esto se hace como sigue.
Existe $b\in \mathcal{O}-\{0\}$ tales que el polinomio mínimo de a $bx$ $k[X]$ ha coeficientes en $\mathcal{O}$; de hecho, si $P_x\in k[X]$ es el polinomio mínimo de a $x$, $$P_x=X^d+\sum_{i=0}^{d-1} \frac{p_i}{q_i}X^i,$$ donde $p_i,q_i \in \mathcal{O}$, $q_i\neq 0$, a continuación, $b=q_0...q_{d-1}$ hace el truco, y $k[bx]=k[x]$. Por lo tanto, poner ahora $y=bx$, todavía tenemos $\mathcal{O}[y]\neq \mathcal{O}$, así que por maximality $1/2 \in \mathcal{O}[y]$. Así que no existe $m>0$ y los coeficientes de $c_i \in \mathcal{O}$ tal que
$$\frac12=c_0+c_1 y + ...+ c_m y^m=Q(y).$$
Podemos suponer que la $m<d$: para ver esto, ya que el polinomio mínimo $P_y$$y$$k$$\mathcal{O}[X]$, y es unitaria, podemos utilizar euclidiana de la división en $\mathcal{O}[X]$, $Q=LP_y+R$, donde $R \in \mathcal{O}[X]$ tiene el grado $<d$, y reemplace $Q$ $R$ en la anterior igualdad. Por lo tanto, $y$ es un cero de la siguiente polinomio $$2c_mX^m+...+2c_1X+(2c_0-1).$$ Desde $2c_0-1\neq 0$, el polinomio es distinto de cero, sino $y$ es algebraico sobre $k$ grado $d>m$. Esto es una contradicción, mostrando que no $x$ existe.
(La prueba de $\mathbb{R}$ es el mismo.)
