Cómo encontrar la suma $1+ \frac {1}{2}- \frac {1}{4}- \frac {1}{5}+ \frac {1}{7}+ \frac {1}{8}- \frac {1}{10}- \frac {1}{11}+ \cdots =?$

Question

Deje que $ \phi (x)= \begin {cases}0 & 0 \lt x \lt 1 \\ 1 & 1 \lt x \lt3 \end {cases}$

Tenemos que la serie de coseno de Fourier es $$ \phi (x)= \begin {cases}0 & 0 \lt x \lt1\\ \frac {4}{3}+ \sum_ {m=1}^{ \infty } \frac {-2 \sin (m \pi /3)}{m \pi } \cos ( \frac {m \pi x}{3}) & 1 \lt x \lt3 \end {cases}$$

Ponga $x=0$ para encontrar la suma $ \displaystyle 1+ \frac {1}{2}- \frac {1}{4}- \frac {1}{5}+ \frac {1}{7}+ \frac {1}{8}- \frac {1}{10}- \frac {1}{11}+ \cdots $

Intenté lo siguiente

$$ \phi (0)= \frac {4}{3}+ \sum_ {m=1}^{ \infty } \frac {-2 \sin (m \pi /3)}{m \pi } \\ = \frac43 -2 \frac { \sin ( \pi /3)}{ \pi }- \frac { \sin (2 \pi /3)}{ \pi }-2 \frac { \sin ( \pi )}{3 \pi }- \frac { \sin (4 \pi /3)}{2 \pi }- \cdots\\ =4/3- \sqrt3 / \pi - \sqrt3 /2 \pi -0+ \sqrt3 /4 \pi\dots =4/3- \sqrt3 / \pi (1+1/2-1/4 \dots )=\ ? $$

Y estoy atrapado aquí,

¿Qué puedo hacer aquí?

Agradezco enormemente cualquier ayuda que pueda proporcionar.

Answer 1

La observación clave, que se explotará más adelante en el cálculo de la serie $$ S=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sigma_n}{n}, $$ donde $\sigma_n$ es una secuencia repetida de $(1,1,0,-1,-1,0)$ es que $$ \sigma_n=\frac{2}{\sqrt3}\sin\frac{\pi n}{3}. $$ Es lo que sigue: $$ S=\frac{2}{\sqrt3}S',\text{ with } S'=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin\frac{\pi n}{3}}{n}.\tag{1} $$ Parece que es más sencillo calcular directamente $S'$ . A continuación se presentan dos enfoques para realizarlo.

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La primera forma, sugerida en cuestión, explota la serie de Fourier de la función periódica par: $$ \phi(x)=\begin{cases} 0& -1<x<1\\ 1& -3<x<-1\text{ or } 1<x<3 \end{cases};\quad\phi(x+6)=\phi(x), $$ que es: $$ \phi(x)=\frac{2}{3}-\sum_{n=1}^\infty\frac{2\sin\frac{\pi n}{3}}{\pi n}\cos\frac{\pi n x}{3}.\tag{2} $$ Sustituyendo en (2) $x=0$ se obtiene: $$ 0=\phi(0)=\frac{2}{3}-\sum_{n=1}^\infty\frac{2\sin\frac{\pi n}{3}}{\pi n}= \frac{2}{3}-\frac{2}{\pi}S'\Rightarrow S'=\frac{\pi}{3}. $$

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La segunda forma es más directa, ya que no se basa en el conocimiento previo de una función adecuada para las series de Fourier. Obsérvese que para $|x|<1$ : $$ \sum_{n=0}^\infty{x^n\sin\frac{\pi n}{3}}=\frac{1}{2i}\left(\frac{1}{1-xe^{\frac{\pi i}{3}}}-\frac{1}{1-xe^{-\frac{\pi i}{3}}}\right) =\frac{x\sin\frac{\pi}{3}}{1-2x\cos\frac{\pi}{3}+x^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{x}{1-x+x^2}. $$

Así, $$ S'=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin\frac{\pi n}{3}}{n}=\sum_{n=1}^\infty\sin\frac{\pi n}{3}\int_0^1 x^{n-1}dx=\frac{\sqrt3}{2}\int_0^1\frac{dx}{1-x+x^2}=\frac{\pi}{3}. $$

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Finalmente, la suma en cuestión se calcula utilizando (1) como: $$ S=\frac{2}{\sqrt3}S'=\frac{2\pi}{3\sqrt3}. $$

Answer 2

En esta respuesta se demuestra que $$ \sum_{k=-\infty}^\infty\frac{(-1)^k}{z+k}=\pi\csc(\pi z) $$ Por lo tanto, $$ \begin{align} \sum_{k=0}^\infty(-1)^k\left(\frac1{3k+1}+\frac1{3k+2}\right) &=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\left(\frac1{3k+1}-\frac1{-3(k+1)+1}\right)\\ &=\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{(-1)^k}{3k+1}+\frac{(-1)^{-k-1}}{3(-k-1)+1}\right)\\ &=\sum_{k=-\infty}^\infty\frac{(-1)^k}{3k+1}\\ &=\frac13\sum_{k=-\infty}^\infty\frac{(-1)^k}{k+\frac13}\\ &=\frac\pi3\csc\left(\frac\pi3\right)\\[6pt] &=\frac{2\pi}{3\sqrt3} \end{align} $$