Estas representaciones son llamados integrable representaciones. En el caso de un general compacto de Lie semisimple grupo, un mayor peso de la representación desciende de un peso más alto:
$$\lambda = \sum_i n_i w_i, \quad i = 1, ...,r$$
Donde $r$ es el rango, $w_i$ son la parte fundamental de pesos y $n_i \in \mathbb{Z}^+$.
La anterior representación es integrable para un nivel de $k$ si para todas las $i$
$$0\le n_i \le k$$
Las razones de esta condición pueden ser entendidos cualitativamente de la siguiente manera:
El de Gauss la ley de restricción de la Chern-Simons teoría sobre el disco en la presencia de un infinitesimal Wilson bucle en $x_0$ correspondiente a la representación de la $\lambda$ está dada por:
$$\frac{k}{2\pi} F^a_{12} = i T^a_{(\lambda)} \delta^2(x-x_0)$$
Witten ecuación 3.4. (Witten, explica este tema en las palabras, en los próximos párrafos)
Donde $ T^a_{(\lambda)} $ es un generador de la Mentira de álgebra en la representación $\lambda$, que siempre puede ser diagonalized como:
$$T^a_{(\lambda)} = g H_{(\lambda)} g^{-1}$$
Donde $ H_{(\lambda)} $ es en el Cartan subalgebra.
El holonomy de la conexión de la solución de la ley de Gauss tiene la forma:
$$U = e^ {\frac{2 \pi i}{k} g H_{(\lambda)} g^{-1} \phi}$$
Donde $\phi$ es el ángulo de rotación alrededor del punto de inserción.
Desde la (diagonal) de elementos de la matriz de $H_{(\lambda)} $ es menor o igual que el mayor peso de los componentes, por lo tanto, debido a la pre-factor de $\frac{2 \pi}{k}$, un cambio por múltiplos enteros de $k$ no cambia el holonomy.
Estas representaciones se denominan integrable, debido a que el nivel de $k$ Kac-Moody álgebras de que se basan en generar representaciones de la correspondiente Kac-Moody grupos, por Favor consulte Goddard y aceite de Oliva.
