Cuando ODA dice más que la solución explícita.

Question

"La educación a distancia no es sólo acerca de los "problemas" de una ecuación y escupir una (probablemente desagradable) fórmula" -- esto es lo que quiero de mi (pregrado) que los estudiantes aprendan de mi curso de este verano.

Un ejemplo que yo estoy buscando es un escenario donde se extrae información acerca de una función de la educación a distancia satisface mucho más fácilmente que de la solución explícita de la fórmula. Hay un ejemplo muy sencillo de ver esto. Por ejemplo, el IVP $y'=y; y(0)=1$ nos dice que la función será creciente en el cero hasta el infinito, por tomar otro derivado que será cóncava hacia arriba, etc. Sin embargo, uno puede argumentar con razón que $e^x$, que es la solución fácilmente le da a estas propiedades.

Por lo tanto, estoy buscando una menos trivial, sin embargo, interesante ejemplo donde es mucho más fácil entender una función a partir de su ODA que a partir de su fórmula explícita.

¿Tienes estos ejemplos? Voy a apreciar.

**El ejemplo puede ser importante a partir de computación/punto de vista numérico."

Answer 1

Me gustaría utilizar modelos matemáticos con aplicación biológica. Su ODA soluciones son a menudo muy complejos y muchos de ellos aún no han cerrado el formulario de solución; sin embargo, la formulación de la educación a distancia en sí es muy intuitiva. Por ejemplo, la ecuación logística: $$\frac{dx}{dt} = r x \left(1 - \frac{x}{K} \right)$$ O es una especie de crecimiento con la cosecha, $$\frac{dx}{dt} = r x \left(1 - \frac{x}{K} \right) - hx$$ Una interacción depredador-presa del sistema: \begin{align} x' & = bx - k_1x - (dxy)\\ y' & = a(dxy) - k_2y \end{align} Creo que estos son muy divertidos y los estudiantes pueden formular sus propias y estudiar el uso de la fase de plano el análisis y la media geométrica.

Answer 2

Hay ejemplos en los que el enfoque cualitativo es muy útil.

La Ley de Newton del Enfriamiento $$ T'=-k(T-A)$$ es un buen ejemplo.

La temperatura de un objeto cambia proporcional a la diferencia de la temperatura de los objetos y la temperatura de la habitación.

La ecuación del calor, $$ \frac {\partial u}{\partial t}= -k \frac {\partial^2 u}{\partial x^2}$$ es otro ejemplo.

La concavidad de calor con respecto al estado indica, la tasa de cambio de la temperatura con respecto al tiempo.

Que explica el efecto de la temperatura de los vecinos puntos en el objeto.

Answer 3

Nadie ha mencionado el oscilador armónico simple $$y''=\alpha y.$$

Es fácil ver por qué las soluciones son sinusoidales y la considero la mejor siguiente ejemplo después del clásico, el crecimiento exponencial de la ecuación.

Answer 4

Creo que un modelo físico podría tomar la abstactness de distancia de los estudiantes que puramente matemático en la educación a distancia podría dar. Modelado de flujo de agua de una tubería puede ser una buena manera de ver los efectos en la ecuación diferencial.

$\dot{m} = \frac{dm}{dt} = \iint_S\rho($v$\cdot$n$)dS$

Dada la suficiente presión, el líquido, y teniendo tan sólo el componente del fluido, de la velocidad paralela a la del área de vectores de la sonda de la sección transversal, la tasa de flujo de masa de fluido fuera del tubo es

$\dot{m} = \rho Av(t)$

$\rho$ es independiente del tiempo, con buena aproximación (la fricción con las paredes y otras partículas, etc. cambio de la densidad del fluido) y $A$ es generalmente independiente del tiempo. $v(t)$ definitivamente es dependiente del tiempo y, finalmente, se comporta como una constante cuando el equilibrio se establezcan.

Si el área aumenta, más líquido se puede expulsar de una vez por unidad de tiempo. Si $\rho$ aumenta, más fluido es contenida por unidad de volumen, de modo más fluido es expulsado por unidad de tiempo. Si $v(t)$ aumenta, más fluido es expulsado por unidad de tiempo.

Supongamos $\dot{m} = const.$ la Mayoría de nosotros estamos familiarizados con el recubrimiento de un jardín boquilla de la manguera. Ello no afecte a $\rho$ mucho, pero disminuye los $A$, lo $v$ debe aumentar.

dividiendo por $\rho$ los rendimientos de la tasa de flujo volumétrico si usted piensa de flujo de masa no se van a conectar con sus alumnos

$\dot{V} = Av(t)$

Hay algunos buenos ejemplos de ver cómo las $\dot{m}$ cambios por la búsqueda de "descarga de agua" en youtube

Answer 5

Odas determinar la evolución de muchos de los sistemas físicos se describen por un Lagrangiano / Hamiltonianos. Para muchos de los sistemas que a menudo no tienen soluciones analíticas a todos, y cuando lo hacen son a menudo complicados no-funciones elementales que nos dice muy poco. En estos casos, se puede entender todavía cómo el sistema va a evolucionar mediante el estudio de la educación a distancia y mirando las constantes de movimiento como la energía para determinar la ruta de acceso del sistema a través del espacio de la fase.

Tomemos, por ejemplo, una partícula que se mueve bajo la influencia de alguna fuerza que algunos describen el potencial de $V(x)$. Esto tiene el Lagrangiano $L(x,\dot{x}) = \frac{1}{2}\dot{x}^2 - V(x)$ lo que nos da que la energía es $H = \frac{1}{2}\dot{x}^2 + V(x)$ que se conserva en el tiempo. La ecuación del movimiento es

$$\ddot{x} = -V'(x)$$

La ODA nos dice que la partícula se desplace hacia abajo el potencial hacia valores más bajos y si se alcanza un mínimo va a subir de nuevo (a qué altura dependerá de la cantidad de energía que tiene). Teniendo en cuenta la forma del potencial en conjunción con la energía que este nos dice que la partícula se desplace en caso de ser liberado en una posición determinada con una determinada energía (podemos fácilmente calcular si va a ser atrapado en una región determinada de si tiene suficiente energía para rodar fuera de él, etc.).

Para un simple potencial de $V(x) = \frac{1}{2}\omega^2x^2$ (como para una partícula que se adjunta a un resorte en la ley de Hooke) se puede resolver de forma analítica y la solución es fácil de entender de forma explícita $x(t) = A\sin(\omega t + \phi)$. Para complicar un poco más la forma como $V(x) = \frac{1}{4}x^4$, entonces todavía podemos escribir una solución analítica en términos de complicadas funciones elípticas $$x(t) = \sqrt[4]{2c_1} \text{sn}\left(\left.\frac{\sqrt{\sqrt{2c_1} t^2+\sqrt{8c_1} c_2 t+\sqrt{2c_1} c_2^2}}{\sqrt{2}}\right|-1\right)$$

pero esto me dice nada. Sin embargo, desde la consideración de la conservación de la energía tenemos que la ruta de acceso en la $(x,\dot{x})$ del espacio de la fase se determina por

$$\frac{1}{2}\dot{x}^2 + \frac{1}{4}x^4 = E$$

que ya nos dice mucho acerca de cómo la solución va a evolucionar (sólo un bosquejo de la curva).