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¿Qué forma es el lugar geométrico de un 3D esquina con un anillo circular que toca los lados de la esquina?

Difícil para mí llegar a esta, pero sucede que tengo mi anillo de bodas, y la esquina de una mesa. Puedo poner el anillo sobre la esquina, el anillo de tocar los tres bordes de la tabla, con el vértice de la esquina que se pegue a través de.

Si me deslice el anillo que la rodea, mientras que tres puntos en los que toque los bordes, el ápice se mueve alrededor y hay un lugar geométrico de los puntos que el ápice puede ser.

En relación a la del círculo, es parte de una esfera?

También, hay otro nombre para este problema?

6voto

Aretino Puntos 5384

El lugar geométrico del vértice es un elipsoide.

Deje que el anillo de ser representado como un círculo en el $xy$ plano, con el centro $(0,0,0)$ y radio de $1$, y vamos a $$ A=(1,0,0),\quad B=(\cos\beta\sin\beta,0),\quad C=(\cos\gamma\sin\gamma,0), $$ ser los puntos donde los bordes toque el timbre. Si $P$ es el vértice, entonces por Pitágoras teorema tenemos $$ PA^2={1\over2}(AB^2+CA^2-BC^2)=1-\cos\beta\cos\gamma+\cos(\beta\gamma),\\ PB^2={1\over2}(BA^2+BC^2-AC^2)=1-\cos\beta+\cos\gamma\cos(\beta\gamma),\\ PC^2={1\over2}(CA^2+CB^2-AB^2)=1+\cos\beta\cos\gamma\cos(\beta\gamma).\\ $$ Punto de $P$ es la intersección de tres esferas, centrado en $A$, $B$, $C$ y con radios $PA$, $PB$, $PC$ dada anteriormente. Un poco de álgebra da a continuación: $$ P=\left(1+\cos\beta+\cos\gamma \sin\beta+\sin\gamma, \sqrt{-1-\cos\beta\cos\gamma\cos(\beta\gamma)}\right) $$ y se puede comprobar que las coordenadas de a $P$ satisfacer la ecuación del elipsoide $$x^2+y^2+2z^2=1.$$

5voto

Joe Gauterin Puntos 9526

WOLOG, vamos a suponer que el radio del anillo es $1$.

Elegir un sistema de coordenadas co-movimiento con el anillo de modo que el anillo siempre coincide con el círculo unitario con centro en el origen en $xy$-plano.

Vamos $v_1$, $v_2$, $v_3$ ser los puntos de contacto de la tabla de aristas con el anillo. Deje $u = (x_u,y_u,z_u)$ ser el ápice. Descomponer $u$ a $c + h\hat{z}$ donde $c = (x_u,y_u,0)$ se encuentra en el $xy$-plano y $h = z_u$.

Puesto que el $3$ vectores $v_1 - u$, $v_2 - u$, $v_3 - u$ son ortogonales uno al otro, tenemos

$$ (v_1 - c)\cdot(v_2 - c) + h^2 = (v_2 - c)\cdot(v_3 - c) + h^2 = (v_3 - c)\cdot(v_1 - c) + h^2 = 0$$ Dado $v_1, v_2, v_3$, en orden para que esto sea posible, necesitamos encontrar un $c$ tal que $$(v_1 - c)\cdot(v_2 - c) = (v_2 - c)\cdot(v_3 - c) = (v_3 - c)\cdot(v_1-c) = -h^2 < 0$$ Restando las ecuaciones, tenemos

$$(v_1 - c)\cdot(v_2 - v_3) = (v_2 - c)\cdot(v_3 - v_1) = (v_3-c)\cdot(v_1-v_2) = 0$$ Como consecuencia del hecho de $|v_1|^2 = |v_2|^2 = |v_3|^2 = 1$, la ecuación de arriba tiene una solución trivial $c = v_1 + v_2 + v_3$ (esta solución es única si $v_1, v_2, v_3$ está en posición general).

Para esta elección de $c$, nos encontramos con

$$-h^2 = (v_1 - c)\cdot(v_2 - c) = v_1\cdot v_2 - c\cdot(v_1+v_2) + |c|^2 = v_1\cdot v_2 - c\cdot( c - v_3) + |c|^2\\ = v_1\cdot v_2 + (v_1 + v_2 + v_3)\cdot v_3 = 1 + v_1\cdot v_2 + v_2\cdot v_3 + v_3 \cdot v_2$$

Junto con la identidad: $$|c|^2 = |v_1 + v_2 + v_3|^2 = 3 + 2(v_1\cdot v_2 + v_2\cdot v_3 + v_3 \cdot v_1)$$

Obtenemos

$$|c|^2 + 2h^2 = 1\quad\iff\quad x_u^2 + y_u^2 + 2z_u^2 = 1$$

Esta es la ecuación de un elipsoide achatado con la unidad de semi-eje mayor a lo largo de la línea del ecuador y el semi-eje menor $\frac{1}{\sqrt{2}}$ a lo largo de los polos.

Actualización

Fórmulas de arriba nos ofrecen una forma geométrica para localizar posibles puntos de contacto dado un ápice.

  • Tomar cualquier punto de $u$ sobre el elipsoide sobre el plano como el ápice.
  • Proyecto $u$ $c$$xy$- plano.
  • Tome $v_1$ a ser cualquier punto en el círculo unitario.
  • Encontrar el punto medio $m$$c$$-v_1$, el punto antipodal de $v_1$.
  • Dibujar una línea de $\ell$ a través de $m$ perpendicular a la línea que une la $c$$v_1$.
  • Deje $v_2$ $v_3$ ser la intersección de $\ell$ con el círculo unidad.

Los tres puntos $v_1$, $v_2$, $v_3$ será una opción posible de los puntos de contacto.

2voto

Bennett Puntos 11

Otros han publicado la respuesta exacta-pero, sin el uso de ecuaciones, hay una manera más fácil visualizar que es, al menos, no una esfera.

Imaginar arrastrando la parte inferior del anillo hacia abajo contra el borde vertical de la tabla, de modo que el lado opuesto del anillo es arrastrado hacia la esquina donde está casi desapareciendo. El plano del anillo es casi vertical, y así, en el anillo, en la esquina de la mesa se mueve casi perpendicular al anillo. Así, el locus de la esquina, donde se reúne con el anillo, debe ser perpendicular al plano del anillo. Lo que SI es una sección de una esfera, que tiene que ser un hemisferio.

Pero no puede ser un hemisferio, ya que puedes también la imagen de un cubo inscrito en el interior de una esfera, con una de las esquinas de tocar la parte superior de la esfera, y los tres más cercano esquinas acostado en un círculo. Esta es la posición que el anillo sería en cuando en la esquina se encuentra en el centro. Pero la sección de la esfera acordonada por el anillo no es un hemisferio; las esquinas no vienen de la mitad de la esfera (su altitud es de 1/3 del camino hacia abajo desde la parte superior de la esfera en la parte inferior).

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