WOLOG, vamos a suponer que el radio del anillo es $1$.
Elegir un sistema de coordenadas co-movimiento con el anillo de modo que el anillo siempre coincide con el círculo unitario con centro en el origen en $xy$-plano.
Vamos $v_1$, $v_2$, $v_3$ ser los puntos de contacto de la tabla de aristas con el anillo.
Deje $u = (x_u,y_u,z_u)$ ser el ápice. Descomponer $u$ a $c + h\hat{z}$ donde $c = (x_u,y_u,0)$ se encuentra en el $xy$-plano y $h = z_u$.
Puesto que el $3$ vectores $v_1 - u$, $v_2 - u$, $v_3 - u$ son ortogonales uno al otro, tenemos
$$
(v_1 - c)\cdot(v_2 - c) + h^2 =
(v_2 - c)\cdot(v_3 - c) + h^2 =
(v_3 - c)\cdot(v_1 - c) + h^2 = 0$$
Dado $v_1, v_2, v_3$, en orden para que esto sea posible, necesitamos encontrar un
$c$ tal que
$$(v_1 - c)\cdot(v_2 - c) = (v_2 - c)\cdot(v_3 - c) = (v_3 - c)\cdot(v_1-c) = -h^2 < 0$$
Restando las ecuaciones, tenemos
$$(v_1 - c)\cdot(v_2 - v_3) = (v_2 - c)\cdot(v_3 - v_1) = (v_3-c)\cdot(v_1-v_2) = 0$$
Como consecuencia del hecho de $|v_1|^2 = |v_2|^2 = |v_3|^2 = 1$,
la ecuación de arriba tiene una solución trivial $c = v_1 + v_2 + v_3$ (esta solución es única si $v_1, v_2, v_3$ está en posición general).
Para esta elección de $c$, nos encontramos con
$$-h^2 =
(v_1 - c)\cdot(v_2 - c) = v_1\cdot v_2 - c\cdot(v_1+v_2) + |c|^2
= v_1\cdot v_2 - c\cdot( c - v_3) + |c|^2\\
= v_1\cdot v_2 + (v_1 + v_2 + v_3)\cdot v_3
= 1 + v_1\cdot v_2 + v_2\cdot v_3 + v_3 \cdot v_2$$
Junto con la identidad:
$$|c|^2 = |v_1 + v_2 + v_3|^2 = 3 + 2(v_1\cdot v_2 + v_2\cdot v_3 + v_3 \cdot v_1)$$
Obtenemos
$$|c|^2 + 2h^2 = 1\quad\iff\quad x_u^2 + y_u^2 + 2z_u^2 = 1$$
Esta es la ecuación de un elipsoide achatado con la unidad de semi-eje mayor a lo largo de la línea del ecuador y el semi-eje menor $\frac{1}{\sqrt{2}}$ a lo largo de los polos.
Actualización
Fórmulas de arriba nos ofrecen una forma geométrica para localizar posibles puntos de contacto dado un ápice.
- Tomar cualquier punto de $u$ sobre el elipsoide sobre el plano como el ápice.
- Proyecto $u$ $c$$xy$- plano.
- Tome $v_1$ a ser cualquier punto en el círculo unitario.
- Encontrar el punto medio $m$$c$$-v_1$, el punto antipodal de $v_1$.
- Dibujar una línea de $\ell$ a través de $m$ perpendicular a la línea que une la $c$$v_1$.
- Deje $v_2$ $v_3$ ser la intersección de $\ell$ con el círculo unidad.
Los tres puntos $v_1$, $v_2$, $v_3$ será una opción posible de los puntos de contacto.