Cuántos inyectiva funciones de $\{5,6,7,8,9\}$ a sí mismo mapa $5$ $6$ a otro número?

Question

Cuántos inyectiva funciones de $\{5,6,7,8,9\}$ a sí mismo mapa $5$ a cualquier otro número de $5$ $6$ a cualquier otro número de $6$?

Deje $B=\{5,6,7,8,9\}, f:B\to B$.

Creo que podemos resolver esta invirtiendo el problema, que es el recuento del número de funciones inyectiva donde $5$ mapas a $5$ $6$ mapas a $6$.

Primero hay $5!$ inyectiva funciones sin restricciones. Hay $4!$ funciones de donde o $5\to 5$ o $6\to 6$ hay $2\cdot 4!$ tales funciones en total. Por último, hay $3!$ funciones donde tanto $5\to 5$$6\to 6$.

Por lo tanto, con las restricciones en el número de funciones es: $$ 5! - 2\cdot 4! + 3! $$

No estoy seguro de si estoy usando el principio de inclusión/exclusión correctamente aquí.

Answer 1

Su respuesta $$ 5! - 2\cdot 4! + 3! = 78$$ es correcta.

Se han contado todas las permutaciones y aplica la inclusión principio de exclusión correctamente.

Answer 2

Aunque estoy de acuerdo que mediante la inclusión de la exclusión es el mejor método, pero me parece que todavía es instructivo si tratamos de contar el número de inyecciones directamente.

Solución. Representamos a una inyección por la orden de $5$-tupla $\left(f(5),f(6),f(7),f(8),f(9)\right)$ y deje $S$ denota el conjunto de todos los ajustes de las inyecciones. A continuación, podemos particionar el conjunto de $S$ manera para que $$S = A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4 $$ donde
$$A_1 = \{x\in S|f(5)\in\{7,8,9\}\text{ and }f(6)\in\{7,8,9\}\}$$ $$A_2 = \{x\in S|f(5)\in\{7,8,9\}\text{ and }f(6)\not\in\{7,8,9\}\}$$ $$A_3 = \{x\in S|f(5)\not\in\{7,8,9\}\text{ and }f(6)\in\{7,8,9\}\}$$ $$A_4 = \{x\in S|f(5)\not\in\{7,8,9\}\text{ and }f(6)\not\in\{7,8,9\}\}\text{}$$ luego, después de un poco de pensamiento no es difícil ver que $$|S| = |A_1|+|A_2|+|A_3|+|A_4| = \binom{3}{2}\cdot(3!+3!)+\binom{3}{1}\cdot 3!+\binom{3}{1}\cdot 3!+3! = 78$$

y sí, su solución es muy correcto!