En la fórmula de Bayes:
$$P(x|a) = \frac{P(a|x) P(x)}{P(a)}$$
puede la probabilidad posterior $P(x|a)$ ¿excede de 1?
Creo que es posible si, por ejemplo, suponiendo que $0 < P(a) < 1$ y $P(a) < P(x) < 1$ y $P(a)/P(x) < P(a|x) < 1$ . Pero no estoy seguro de esto, porque ¿qué significaría que una probabilidad sea mayor que uno?
No, no es posible que la probabilidad posterior sea superior a uno. Eso sería una violación del axioma de normalidad de la teoría de la probabilidad. En su pregunta especifica que $\mathbb{P}(a)/\mathbb{P}(x) < \mathbb{P}(a | x)$ como parte de su ejemplo. Sin embargo, utilizando las reglas de la probabilidad condicional, debe tener:
$$\mathbb{P}(a | x) = \frac{\mathbb{P}(a,x)}{\mathbb{P}(x)} \leqslant \frac{\mathbb{P}(a)}{\mathbb{P}(x)}.$$
Esto significa que no puede tener las condiciones de desigualdad que ha especificado. (Por cierto, esta es una buena pregunta: es bueno que estés sondeando las leyes de la probabilidad en busca de problemas. Demuestra que estás explorando estas cuestiones con un mayor grado de rigor que la mayoría de los estudiantes).
Un punto adicional: Vale la pena hacer un punto adicional sobre esta situación, que es sobre la prioridad lógica de las diferentes características de la probabilidad. Recordemos que la teoría de la probabilidad comienza con un conjunto de axiomas que caracterizan lo que es realmente una medida de probabilidad. A partir de estos axiomas podemos derivar "reglas de probabilidad" que son teoremas derivados de los axiomas. Estas reglas de probabilidad deben ser consistentes con los axiomas para ser válidas. Si alguna vez se encuentra que una regla de probabilidad conduce a una contradicción con uno de los axiomas (por ejemplo, la probabilidad del espacio muestral es mayor que uno), esto no falsificaría el axioma - falsificaría la regla de la probabilidad . Por lo tanto, incluso si fuera el caso la regla de Bayes podría conducir a una probabilidad posterior mayor que uno (no lo hace), esto no significaría que se pueda tener una probabilidad posterior mayor que uno; simplemente significaría que la regla de Bayes no es una regla de probabilidad válida.
La fórmula de Bayes $\displaystyle P(B \mid A) = \frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A)}$ no puede dar valores para $P(B\mid A)$ superando $1$ . Una forma intuitiva de ver esto es expresar $P(A)$ a través de la ley de la probabilidad total como $$P(A) = P(A\mid B)P(B) + P(A\mid B^c)P(B^c)$$ dando que $$P(B \mid A) = \frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A)} = \frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A\mid B)P(B) + P(A\mid B^c)P(B^c)}$$ lo que demuestra que el numerador es sólo uno de los términos de la suma en el denominador, por lo que la fracción no puede superar $1$ en valor.
@Mehrdad Gracias. Las otras respuestas demuestran esencialmente que una probabilidad condicional $P(B\mid A)$ no puede superar $1$ mediante el resultado de que $P(A\mid B)P(B) = P\A\cap B)$ no puede superar $P(A)$ porque $A\cap B \subset A$ y por eso debe ser que $P\A\cap B) \leq P(A)$ y tienen poca relación por sí mismo a la fórmula de Bayes (tal y como se utiliza en estadística para derivar las probabilidades posteriores a partir de las probabilidades previas).
Las condiciones asumidas no se mantienen: nunca puede ser cierto que $P(a)/P(x) < P(a|x)$ por la definición de probabilidad condicional :
$P(a|x) = P(a\cap x) / P(x) \leq P(a) / P(x)$
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Hay que ser preciso en la definición de la notación. No está claro qué $P(\cdot)$ representa. Si $P(\cdot)$ es (a) una distribución de probabilidad (en cuyo caso $a$ y $x$ son conjuntos) o (b) una función de masa en un espacio discreto, entonces las respuestas que ya tienes son esencialmente correctas. Si $P(\cdot)$ se entiende como una función de densidad, entonces no es cierto que $P(x \mid a) \le 1$ . La razón de la minuciosidad es que los tres tipos de funciones satisfacen la regla de Bayes. La notación $P(\cdot)$ suele ser para una distribución, pero el uso de minúsculas para los argumentos sugiere una densidad.
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$P(x\mid a) = \frac{P(x,a) }{P(a)} \le \frac{P(a) }{P(a)} =1$ por lo que la probabilidad posterior no puede superar $1$ . (La densidad posterior es una cuestión diferente: muchas distribuciones continuas tienen densidades superiores a $1$ para algunos valores)
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Si el posterior calculado es superior a uno, has cometido un error en alguna parte.
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@EmilMFriedman, tu respuesta es ambigua (y, por ello, potencialmente perjudicial), porque no indica si se refiere a un "posterior calculado" probabilidad o densidad.
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La barrera de la unidad en la probabilidad puede romperse y se ha roto. Ver mi post en stats.stackexchange.com/questions/4220/ .
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@guy esto es lo que yo también pensaba que está confundiendo el OP. Para ampliar su punto sobre discreto vs continuo para un $P(x | a)$ esta probabilidad se calcularía para $x \in (a,b)$ donde $a \neq b$ . Un solo valor de la densidad puede ser mayor que 1.