La diferenciación con la notación sigma

Question

Quiero resolver una función que contiene la notación sigma.

$f(x)=1- e^{(-x/a)}\sum_{i=0}^{m-1}\frac{(\frac{x}{a})^i}{i!}$

Answer 1

Bien, vamos a tratar paso a paso para que usted vea lo que está sucediendo. Deje $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dado por:

$$g(x)=\sum_{i=0}^{m-1}\frac{1}{i!}\left(\frac{x}{a}\right)^i$$

Y deje $h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser otra función dada por $h(x)=e^{-x/a}$. Por lo que su función está en el reallity $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$$f = 1 - hg$. Esto implica, por las propiedades de la derivada que tenemos:

$$f'=-(h'g+hg')$$

Así que tenemos que calcular sólo los derivados de la $h$ e de $g$. De hecho, $h$ es muy simple, si usted sabe acerca de la regla de la cadena y sobre la diferenciación de las exponenciales te trivialmente obtener

$$h'(x)=\frac{-e^{-x/a}}{a}$$

Ahora la derivada de $g$ requiere un poco de pensamiento. Acabo de hacer los pasos más claro que voy a usar Leibniz' notación. Queremos calcular

$$\frac{d}{dx}\sum_{i=0}^{m-1}\frac{1}{i!}\left(\frac{x}{a}\right)^i$$

Ahora, la derivada es lineal, de modo que la derivada de una suma es la suma de los derivados, que permite poner la derivada en el interior de la suma. También linealidad dice que la derivada del producto de una constante por una función es la constante por la derivada de la función. Esto permite escribir la siguiente:

$$\frac{d}{dx}g(x)=\sum_{i=0}^{m-1}\frac{1}{i!}\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{a}\right)^i$$

Ahora vamos a utilizar la regla de la cadena. Sabemos cómo diferenciar $x^i$, pero no sabemos cómo diferenciar $(x/a)^i$. Así que usamos la regla de la cadena, diferenciar fuera "con respecto a $x/a$" y multiplicar por el derivado de lo interior con respecto a $x$:

$$\frac{d}{dx}g(x)=\sum_{i=0}^{m-1}\frac{1}{i!}i\left(\frac{x}{a}\right)^{i-1}\frac{1}{a}$$

Esto se simplifica a la siguiente:

$$\frac{d}{dx}g(x)=\sum_{i=0}^{m-1}\frac{1}{a(i-1)!}\left(\frac{x}{a}\right)^{i-1}$$

Ahora que tenemos tanto en $h'$ $g'$ nos acaba de sustituir a ellos de nuevo:

$$f'(x)=-\left( \frac{-e^{-x/a}}{a}\sum_{i=0}^{m-1}\frac{1}{i!}\left(\frac{x}{a}\right)^i + e^{-x/a}\sum_{i=0}^{m-1}\frac{1}{a(i-1)!}\left(\frac{x}{a}\right)^{i-1}\right)$$

Podemos simplificar tomando $e^{-x/a}$ fuera de:

$$f'(x)=-e^{-x/a}\left( \frac{-1}{a}\sum_{i=0}^{m-1}\frac{1}{i!}\left(\frac{x}{a}\right)^i + \sum_{i=0}^{m-1}\frac{1}{a(i-1)!}\left(\frac{x}{a}\right)^{i-1}\right)$$

Ahora podemos poner el $-1/a$ dentro de la primera suma y combinar ambas sumas llegar:

$$f'(x)=-e^{-x/a}\sum_{i=0}^{m-1}\left( \frac{-1}{a i!}\left(\frac{x}{a}\right)^i + \frac{1}{a(i-1)!}\left(\frac{x}{a}\right)^{i-1}\right)$$

Y esto también puede ser escrito como

$$f'(x)=-\frac{e^{-x/a}}{a}\sum_{i=0}^{m-1}\left( \frac{-(i-1)!}{i!(i-1)!}\left(\frac{x}{a}\right)^i + \frac{i(i-1)!}{i!(i-1)!}\left(\frac{x}{a}\right)^{i-1}\right)$$

Y finalmente llegamos a un menos intimidante versión de la derivada de esta función:

$$f'(x)=-\frac{e^{-x/a}}{a}\sum_{i=0}^{m-1}\left(\frac{1}{i!}\left(\frac{x}{a}\right)^{i-1}\left(i-\frac{x}{a}\right)\right)$$

Espero que eso era lo que quería. Buena suerte con tus estudios.

Answer 2

La suma es el líder en términos de $e^{\frac xa}$ $m \to \infty, f(x) \to 0$ cada término de la suma es menor que el anterior (si $\frac xa$ es lo suficientemente pequeño-¿cómo pequeños necesitan ser?) puede aproximar la suma como $e^{\frac xa}-(\frac xa)^m\frac 1{m!}$ $f(x) \approx e^{-\frac xa}(\frac xa)^m\frac 1{m!}$