Supongamos que $a,b,c$ son números reales no negativos y $n$ es un número natural $n \ge 3$ . ¿Qué es el $f(n)=$ el valor mínimo de $a^n + b^n + c^n$ ?
Encuentro ;
$$f(3) = \frac{1}{\sqrt{3}}\qquad f(4) = \frac{1}{3}$$
entonces supongo
$$f(n) = \left(\frac{1}{\sqrt{3}} \right)^n \times 3 $$ ¿Es eso cierto?
Su conjetura es cierta. Primero, $f(n)=a^n+b^n+(1-(a^2+b^2))^{\frac{n}{2}}$ calcular su derivada respecto a $a$ se obtiene que tiene el mínimo $a=\sqrt{\frac{1-b^2}{2}}$ . Insertando esto en $f(n)$ obtenemos $f(n)=2(\frac{1-b^2}{2})^{\frac{n}{2}}+b^n$ calcule ahora su derivada respecto a $b$ se obtiene que tiene el mínimo $b=\frac{1}{\sqrt{3}}$ . Ahora se concluye que $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$ y $\min f(n)=3^{\frac{2-n}{2}}$ .
@RodrigodeAzevedo no importa, la función también es regular incluyendo los puntos bdry. Puedes considerar los límites izquierdo o derecho en este caso.
Establecer $(x_1, x_2, x_3) = (a, b, c)$ . Aplicación de La desigualdad de Holder à $(x_1^2, x_2^2, x_3^2)$ y $ (1, 1, 1)$ con $$ p = \frac n2 \, , \quad q = \frac{n}{n-2} $$ da $$ 1 = \sum_{k=1}^3 x_k^2 \cdot 1 \le \left( \sum_{k=1}^3 x_k^n \right)^{\frac 2n} \cdot \left( \sum_{k=1}^3 1 \right)^{\frac {n-2}{n}} \\ = \left( \sum_{k=1}^3 x_k^n \right)^{\frac 2n} \cdot 3 ^{\frac {n-2}{n}} $$ lo que implica $$ x_1^n + x_2^n + x_3^n\ge \left(\frac 13 \right)^{\frac {n-2}{2}} = \frac{3}{(\sqrt 3)^n} $$ y la igualdad se mantiene para $x_1 = x_2 = x_3 = \frac{1}{\sqrt 3}$ , por lo que este es el valor mínimo, como usted conjeturó.
Si no me equivoco, la igualdad se alcanza para $a=b=c=\left(\frac13\right)^{1/2}$ para satisfacer $a^2 +b^2 +c^2=1$ .
@MartinR Sí, a eso me refería. Entonces cada uno de $a^n,b^n,c^n$ son iguales a $\left(\frac13\right)^{1/2}$ .
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