espacio acotado medible funciones

Question

Deje $(\Omega, \Sigma)$ ser un espacio medible. Es el espacio de la acotado medible funciones de $B_b(\Sigma)$ equipada con el supremum de la norma de un espacio de Banach, es decir, completa?

Answer 1

Desde que mi comentario parece haber causado un poco de confusión, aquí está el argumento (la respuesta es sí, por supuesto):

Deje $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ser una secuencia de Cauchy en $B_{b}(\Omega,\Sigma)$, es decir:

Para cada $\varepsilon \gt 0$ existe $N(\varepsilon)$ tal que para todos los $m,n \geq N$ tenemos $\|f_n - f_m\|= \sup_{x \in \Omega}{|f_n(x) - f_m(x)|} \lt \varepsilon$.

1. Para cada una de las $x \in \Omega$ tenemos $|f_n(x) - f_m(x)| \leq \|f_n - f_m\|$. De ello se desprende que $(f_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$ es una secuencia de Cauchy en $\mathbb{R}$. Por lo tanto, $f(x) = \lim_{n \to \infty}{f_n(x)}$ existe (es decir, hay una función de $f: \Omega \to \mathbb{R}$ tal que $f_n \to f$ pointwise).

2. El pointwise límite de una sucesión de funciones medibles es medible: Para todos los $a \in \mathbb{R}$ hemos $$ \begin{align*} \{x \in \Omega\,:\,f(x) \leq a\} & = \left\{ x \in \Omega \,:\, (\forall k \in \mathbb{N}) \, (\exists m \in \mathbb{N}) \, (\forall n \geq m)\quad f_n(x) \leq a+ \frac{1}{k} \right\} \\ & = \bigcap_{k = 1}^\infty \bigcup_{m = 1}^\infty \bigcap_{n = m}^\infty \left\{x \in \Omega \,:\, f_n(x) \leq a + \frac{1}{k}\right\} \in \Sigma. \end{align*} $$ De ello se desprende que $f$ es medible.

3. Para $m,n \geq N(\varepsilon)$ tenemos para todos los $x \in \Omega$ que $|f_n(x) - f_m(x)| \lt \varepsilon$. Dejando $n \to \infty$ vemos que $$ |f(x) - f_m(x)| \leq \varepsilon \quad\text{ para todo } x \in \Omega\text{ siempre } m \geq N(\varepsilon). $$ Se deduce que

   • para todos los $x \in \Omega$ tenemos $|f(x)| \leq |f_m(x)| + \varepsilon \leq \|f_m\| + \varepsilon$, por lo que el $f$ es limitado y por el punto 2 ya sabemos que $f$ es medible, por lo $f \in B_b(\Omega,\Sigma)$.

   • Si $m \geq N(\varepsilon)$ tenemos $\|f - f_m\| \leq \varepsilon$, de modo que $f$ es el límite de $(f_n)$$B_b(\Omega,\Sigma)$.