Nueva respuesta:
Tres fórmulas para la $n$th derivado de una forma paramétrica de la función definida aparecen en la Sección 3 de Todorov papel de "Nuevas Fórmulas Explícitas para las $n$th Derivados de Compuestos de Funciones," Pacific Journal of Mathematics 92 (1): 1981, pp 217-236. A pesar de que el título en inglés, el papel está en alemán. Ninguna de las tres fórmulas que parecen que sería particularmente fácil de usar, pero que probablemente es de esperar dada la discusión en mi respuesta original.
La primera fórmula, aparentemente debido a Pourchet, es
$$\frac{d^n y}{dx^n} = \sum_{k=1}^n B_{nk}(t) g^{(k)}(t),$$
donde el funcional coeficientes de $B_{nk}$ satisface la relación de recurrencia
$$B_{n+1,k} = \frac{1}{f'} \left( B'_{nk} + B_{n,k-1} \right),$$
para$1 \leq k \leq n+1$$n \geq 1$. Los valores de límite son $B_{n0} = B_{n,n+1} = 0$, $B_{11} = 1/f'$.
Los próximos dos fórmulas son explícitas y son debido a Todorov, pero involucran determinantes. En primer lugar tenemos
$$\frac{d^n y}{dx^n} = \frac{1}{(f')^{n(n+1)/2}} \begin{vmatrix} \dfrac{d}{dt} \dfrac{f}{1!} & \dfrac{d}{dt} \dfrac{f^2}{2!} & \cdots & \dfrac{d}{dt} \dfrac{f^{n-1}}{(n-1)!} & \dfrac{dg}{dt} \\
\dfrac{d^2}{dt^2} \dfrac{f}{1!} & \dfrac{d^2}{dt^2} \dfrac{f^2}{2!} & \cdots & \dfrac{d^2}{dt^2} \dfrac{f^{n-1}}{(n-1)!} & \dfrac{d^2g}{dt^2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
\dfrac{d^n}{dt^n} \dfrac{f}{1!} & \dfrac{d^n}{dt^n} \dfrac{f^2}{2!} & \cdots & \dfrac{d^n}{dt^n} \dfrac{f^{n-1}}{(n-1)!} & \dfrac{d^ng}{dt^n}
\end{vmatrix},$$
que al menos tiene buena simetría.
La segunda fórmula general dada por Todorov es
$$\frac{d^n y}{dx^n} = \frac{1}{(f')^{2n-1}} \begin{vmatrix} a_{11}(n) \dfrac{f'}{1!} & 0 & \cdots & 0 & \dfrac{g'}{0!} \\
a_{21}(n) \dfrac{f''}{2!} & a_{22}(n) \dfrac{f'}{1!} & \cdots & 0 & \dfrac{g''}{1!} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
a_{n-1,1}(n) \dfrac{f^{(n-1)}}{(n-1)!} & a_{n-1,2}(n) \dfrac{f^{(n-2)}}{(n-2)!} & \cdots & a_{n-1,n-1}(n) \dfrac{f'}{1!} & \dfrac{g^{(n-1)}}{(n-2)!} \\
a_{n1}(n) \dfrac{f^{(n)}}{n!} & a_{n2}(n) \dfrac{f^{(n-1)}}{(n-1)!} & \cdots & a_{n,n-1}(n) \dfrac{f''}{2!} & \dfrac{g^{(n)}}{(n-1)!}
\end{vmatrix},$$
donde$a_{jk}(n) = (j-k+1)n - j$$1 \leq k \leq \min\{j,n-1\}$$1 \leq j \leq n$.
Todorov tiene algunas otras fórmulas que involucran casos especiales de $f$, así como los resultados en el $n$th derivados de compuestos de funciones (como el título del artículo indica).
En general, la operación en el lado derecho de la $$\frac{d^n y}{dx^n} = \left(\frac{1}{f'} \frac{d}{dt}\right)^n g(t)$$ (que tengo en mi respuesta original) se llama una Mentira derivados. Que parece ser la palabra mágica aquí. (Mi corriendo a lo largo de este término en otro entorno es lo que me llevó a Todorov del papel).
Hay dos casos especiales de esta fórmula, dada en Comtet la Avanzada de la Combinatoria (p. 220), que son particularmente interesantes. Si $f(t) = \log t$,$1/f'(t) = t$, e $$\frac{d^n y}{dx^n} = \left(t \frac{d}{dt}\right)^n g(t) = \sum_{k=1}^n \left\{ n \atop k \right\} t^k g^{(k)}(t).$$
Si $f(t) = \dfrac{e^{-at}}{-a}$,$1/f'(t) = e^{at}$, e $$\frac{d^n y}{dx^n} = \left(e^{at} \frac{d}{dt}\right)^n g(t) = \sum_{k=1}^n \left[ n \atop k \right] a^{n-k} g^{(k)}(t).$$
Respuesta Original:
En general, gracias a la regla de la cadena, tenemos $$\frac{d^n y}{dx^n} = \left(\frac{1}{f'(t)} \frac{d}{dt}\right)^n g(t).$$
Por lo que una gran parte de la dificultad en encontrar una buena expresión para $\frac{d^n y}{dx^n}$ se encuentra en forma de $f'(t)$. La más fea $f'(t)$, la más fea, esta expresión será.
Mirando un simple caso de $f'(t)$ debe arrojar algo de luz sobre el caso general. Dejando $f'(t) = 1$ es muy sencilla, pero el caso $f'(t) = t$ (así, dicen, $f(t) = t^2/2$) da una idea. Ver al final del post para comentarios acerca de lo que esto significa para el caso general.
Si $f'(t) = t$ tenemos $$\frac{d^n y}{dx^n} = \frac{(-1)^{n-1}\phi_{n-1} (-t D(g'))}{t^{2n-1}} ,$$
donde $D$ es el operador de diferenciación (por lo $D^k(g') = g^{(k+1)}(t)$) y $\phi_n$ $n$th inversa de Bessel polinomio.
El $n$th inversa de Bessel polinomio se define como
$$\phi_n(t) = \sum_{k=0}^n \frac{(2n-k)! t^k}{(n-k)! k! 2^{n-k}}.$$
Por ejemplo, para algunos valores pequeños de a $n$ tenemos $$
\begin{align*}
\frac{dy}{dx} &= \frac{g'(t)}{t} = \frac{\phi_0 (-t D(g'))}{t}, \\
\frac{d^2y}{dx^2} &= \frac{g''(t)t - g'(t)}{t^3} = -\frac{ \phi_1 (-t D(g'))}{t^3}, \\
\frac{d^3y}{dx^3} &= \frac{g'''(t)t^2 - 3g''(t)t + 3g'(t)}{t^5} = \frac{\phi_2 (-t D(g')}{t^5}, \\
\end{align*}$$
lo cual está de acuerdo con lo que J. M. de arriba. (Tenga en cuenta que $D^0(g') = g'(t).)$ a partir De aquí vamos a hacer una prueba por inducción.
Necesitaremos $\frac{d\phi_{n-1} (-t D(g'))}{dt}$, así que vamos a calcular en primer lugar. Una vez que se obtiene a través de la diferenciación vamos a sustituir $z$$-t D(g')$, para simplificar.
$$\begin{align*}
\frac{d\phi_{n-1} (-t D(g'))}{dt} &= -\sum_{k=1}^{n-1} \frac{(2n-2-k)! k (-t)^{k-1} D^k (g')}{(n-1-k)! k! 2^{n-1-k}} + \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(2n-2-k)! (-t)^k D^{k+1} (g')}{(n-1-k)! k! 2^{n-1-k}} \\
&= \frac{1}{t} \left(\sum_{k=1}^{n-1} \frac{(2n-2-k)! z^k}{(n-1-k)! (k-1)! 2^{n-1-k}} - \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(2n-2-k)! z^{k+1}}{(n-1-k)! k! 2^{n-1-k}}\right) \\
&= \frac{1}{t} \left(\sum_{k=0}^{n-2} \frac{(2n-3-k)! z^{k+1}}{(n-2-k)! k! 2^{n-2-k}} - \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(2n-2-k)! z^{k+1}}{(n-1-k)! k! 2^{n-1-k}}\right) \\
&= \frac{1}{t} \left(- z^n + z \sum_{k=0}^{n-2} \frac{(2n-3-k)! z^k}{(n-1-k)! k! 2^{n-1-k}} \left(2(n-1-k) - (2n-2-k)\right) \right) \\
&= -\frac{1}{t} \left( z^n + z \sum_{k=0}^{n-2} \frac{(2n-3-k)! k z^k}{(n-1-k)! k! 2^{n-1-k}} \right) \\
&= -\frac{1}{t} \left( z^n + z^2 \sum_{k=0}^{n-3} \frac{(2n-4-k)! z^k}{(n-2-k)! k! 2^{n-2-k}} \right) \\
&= -\frac{z^2}{t} \phi_{n-2} (z).
\end{align*}
$$
Entonces tenemos, con $z = -t D(g')$,
$$\begin{align*}
\frac{d^{n+1} y}{dx^{n+1}} &= (-1)^{n-1} t^{-1} \left((1-2n) t^{-2n} \phi_{n-1}(z) - t^{1-2n} t^{-1} z^2 \phi_{n-2} (z)\right)\\
&= (-1)^n t^{-1-2n} ((2n-1) \phi_{n-1}(z) + z^2 \phi_{n-2} (z)) \\
& = \frac{(-1)^n \phi_n (z)}{t^{2(n+1)-1}} ,
\end{align*}$$
desde la inversa de los polinomios de Bessel satisfacer la recurrencia $\phi_n (z) = (2n-1)\phi_{n-1}(z) + z^2 \phi_{n-2}(z)$.
Puesto que los polinomios de Bessel se muestran incluso en este caso simple, parece que el caso general, tendrá que incluir algunas generalización de los polinomios de Bessel. De hecho, para general $f'(t)$ el argumento anterior pasa por mostrar que los coeficientes de los términos en el numerador de $\frac{d^n y}{dx^n}$ contiene solamente potencias de $f'(t)$ $f''(t)$ y los derivados de la $g(t)$ son los de la inversa de los polinomios de Bessel. Lo que sigue, entonces, es la caracterización de los términos que contiene el tercer y derivadas de orden superior de $f$.
