Los valores propios de $\left[\begin{smallmatrix}1 & 1 & 2 \\1 & 2 & 1 \\2 & 1 & 1 \\ \end{smallmatrix}\right]$

Question

Estoy tratando de encontrar los valores propios de $A$ donde $$A= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix} $$

Estoy atascado después de escribir la ecuación $(1-)(2-)(1-)-6(1-) = 0$ . He intentado resolver esto de dos maneras diferentes (usando la ecuación característica y de otra manera, ambas resultan en la ecuación anterior), pero las soluciones en la calculadora de valores propios para matrices de 3x3 en WolframAlpha difieren de las mías. ¿Qué estoy haciendo mal aquí?

Editar: Error mío, se me olvidó incluir la solución que he escrito. Hice una foto de la misma:

También tengo otra solución en la que utilicé la fórmula del determinante de una matriz de 3x3 y obtuve la misma respuesta. WolframAlpha dice que los valores propios para esto son $ = 1, -1$ y $4$ .

Answer 1

Usted tiene $(1-)(2-)(1-)-6(1-)$ Antes de hacer cualquier otra cosa, recoge $1-\lambda$ , obteniendo $$ (1-\lambda)\bigl((1-)(2-)-6\bigr) = (1-\lambda)(2-2\lambda-\lambda+\lambda^2-6) = (1-\lambda)(\lambda^2-3\lambda-4) $$ y se pueden encontrar por separado las soluciones de $1-\lambda=0$ (es decir, $\lambda=1$ ) y de $\lambda^2-3\lambda-4=0$ (es decir, $\lambda=4$ o $\lambda=-1$ ).

Answer 2

Aquí hay una manera de ver eso $A$ tiene valores propios $4, 1, -1.$ cada fila suma $4.$ por lo tanto $4$ es un valor propio y un vector propio es $(1,1,1)^T.$ si se mira $A-I,$ la suma de la primera y la última fila es el doble de la segunda fila, es decir $(1,-2,1)$ es el vector propio izquierdo correspondiente al valor propio $1.$ ahora, utiliza el hecho de que $4 = trace(A)$ es la suma de los valores propios, por lo que el tercer valor propio debe ser $-1$

Answer 3

$$ \left|\begin{matrix} 1-\lambda & 1 & 2 \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ 2 & 1 & 1-\lambda \end{matrix} \right| \\ = (1-\lambda)[(2-\lambda)(1-\lambda)-1]-[1-\lambda-2]+2[1-2(2-\lambda)] \\ = (1-\lambda)(2-2\lambda-\lambda+\lambda^2-1)-(-\lambda-1)+2(1-4+2\lambda) \\ = (1-\lambda)(\lambda^2-3\lambda+1)-(-\lambda-1)+2(2\lambda-3) \\ = (\lambda^2-3\lambda+1-\lambda^3+3\lambda^2-\lambda)+\lambda+1+4\lambda-6 \\ = (-\lambda^3+4\lambda^2-4\lambda+1)+5\lambda-5 \\ = -\lambda^3+4\lambda^2+\lambda-4 \\ = \lambda^2(-\lambda+4)+\lambda-4 \\ = -\lambda^2(\lambda-4)+(\lambda-4) \\ = (\lambda-4)(1-\lambda^2) \\ = (\lambda-4)(1-\lambda)(1+\lambda) $$

Así que la raíz del polinomio característico (valores propios de la matriz original) son $\lambda_1 = -1, \lambda_2=1, \lambda_3 = 4$ .

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Mi sugerencia para encontrar a mano los valores propios de matrices arbitrarias es expresar el polinomio característico en la forma $\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + a_2\lambda^2 +a_1\lambda + a_0$ . En primer lugar, estos polinomios suelen estar diseñados para ser factorizados, así que sigue tus primeros instintos a la hora de encontrar sus raíces. Sin embargo, si tu profesor es cruel, sólo se podrá resolver numéricamente.

En segundo lugar, puedes averiguar si has encontrado el polinomio característico correcto mirando los valores de ciertos coeficientes para un $n\times n$ matriz. El valor de $a_0$ debe ser el determinante de la matriz original. También es el producto de sus valores propios: $\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n$ con multiplicidades.

Además, el valor de $a_{n-1}$ es la traza de la matriz original. La traza también es igual a la suma de sus valores propios con multiplicidades: $a_{n-1} = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n$ . Hay que reconocer que el rastro es el mucho valor más fácil de calcular, así que compruébalo primero si no estás seguro de haber obtenido el polinomio característico correcto.