Cómo evaluar una infinita suma que implican restos

Question

He estado tratando de evaluar la suma

$$\sum_{k=0}^\infty \frac{m^k\bmod n}{m^k}$$

donde $m$ $n$ son enteros positivos mayores que $1$ $a\bmod b$ es el resto al $a$ se divide por $b$. Esto surgió en una combinatoria problema que estaba haciendo, y yo sé cómo para evaluar da $m$ $n$ (los numeradores se repita, por lo que termina de ser solo geométrica), pero no estoy seguro de cómo evaluarlo en general.

Alguna idea?

Answer 1

Los numeradores se debe repetir porque sólo un número finito de posibles existen restos. Supongamos que la parte que se repite se inicia después de la primera $K$ términos, por lo que tiene \begin{align} & \sum_{k=1}^K \frac{m^k\bmod n}{m^k} + \sum_{k=K+1}^\infty \frac{m^k\bmod n}{m^k} \\[10pt] = {} & \sum_{k=1}^K + \sum_{k=K+1}^{K+R} + \sum_{k=K+R+1}^{K+2R} + \sum_{k=K+2R+1}^{K+3R} + \cdots \\ & \text{where %#%#% is the length of the repeating part} \\[10pt] = {} & \sum_{k=1}^K + \left(\sum_{k=K+1}^{K+R}\right)\left( 1 + \frac 1 {m^R} + \frac 1 {m^{2R}} + \frac 1 {m^{3R}} + \cdots \right) \\[10pt] = {} & \sum_{k=1}^K + \left(\sum_{k=K+1}^{K+R}\right)\left( \frac 1 {1- \dfrac 1 {m^R}} \right) \end{align}