Un parámetro semigroups de bimodules

Question

Supongamos que M es un álgebra de von Neumann. Considere la posibilidad de una categoría monoidal de bimodules sobre M. Aquí un bimodule es un espacio de Hilbert con dos normales representaciones de M. El monoidal estructura está dada por la Restricción " la fusión. Alternativamente, podemos tomar a la derecha W*-correspondencias (derecho de Hilbert W*-módulos a través de M con normal izquierda de acción de la M) junto con el completado algebraicas producto tensor.

¿Qué podemos decir acerca de un parámetro "semigroups" de tal bimodules? Más precisamente, considere la posibilidad de una familia E de bimodules parametrizadas por un número real t > 0 tal que E_s ⊗ E_t = E_{s+t}. Igualdad de aquí denota isomorfismo. ¿Tiene un "generador infinitesimal"? ¿Qué es el "exponente", entonces? ¿Necesitamos alguna "continuidad" de las condiciones para garantizar buenas propiedades de tales "semigroups"? ¿Qué tipo de restricciones adicionales que podemos obtener en M, siempre que dicha familia existe?

A mí me parece que estos objetos son conocidos como "continuo tensor de producto de los sistemas". Cualquier referencia en esta materia será apreciado.

Answer 1

Estas estructuras han sido investigados en profundidad (bienvenido al club!). Permítanme tratar de responder algunas de sus preguntas.

1) en Primer lugar, permítanme sugerir que mires el proyecto de Ley Arveson del libro sobre este tema, no conmutativa de la Dinámica y de E-semigroups. Arveson es considerado el pionero de la moderna trabajar en estas estructuras, y podrá disfrutar de su libro.

2) Un "infinitesemal generador" puede significar varias cosas, pero en cierto sentido, sorprendentemente, no siempre existe. Arveson el libro contiene algún tratamiento de este problema, conocido como la existencia de tipo III ejemplos, que son debido a la R. T. Poderes y B. Tsirelson (también hay recet trabajo de M. Izumi).

3) ¿necesitamos continuidad condiciones? Medición de condiciones suficientes. La condición es que el paquete {E_t}_{t>0} ser isomorfo, como un importante paquete de Hilbert espacios, a la trivial paquete (0,infinito) X H_0, con H_0 algunos fijos espacio de Hilbert, además de la compatibilidad de la medibles estructura con la adición, multiplicación, etc.

4) Extenso de la investigación ha sido llevada a cabo también en el caso de que el E_t son Hilbert bimodules (C^*-correspondencias). La búsqueda de la ArXiv para las obras de Michael Skeide, o Pablo Muhly y Baruch Solel.

5) también debo mencionar: estos sistemas de productos surgen naturalmente en el estudio de, dar lugar a, y están en una correspondencia uno a uno con semigroups de *-endomorphisms en álgebras de von Neumann.