¿Cuál es la métrica de Schwarzschild, con la debida distancia radial?

Question

Leer el maravilloso libro "El Paradigma de la Membrana" me tropecé con una propuesta de cambio de variable que no soy capaz de lidiar con. Comenzando con la costumbre de la métrica de Schwarzschild para la espacial 3-geometría

$$ ds^2 = \frac{1}{f(r)} dr^2 + r^2 \left( d\theta^2 + \sin ^2 \theta \ d\phi\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) $$

donde $ f(r) = 1-\frac{2M}{r}$ (que es simplemente la métrica de Schwarzschild sin tiempo el elemento $-f(r)\ dt^2 $) que sugieren una nueva radial coordinar $R$ con la "propiedad que $R-2M$ mide la adecuada distancia radial hacia el exterior desde el horizonte". Esta nueva variable es

$$ R= 2M + \sqrt{r(r-2M)}+\ln \left[ \sqrt{\frac{r}{2M} -1} + \sqrt{\frac{r}{2M}} \right].\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) $$

Me gustaría ver la nueva métrica, pero no soy capaz de invertir (2) (a saber, encontrar $r(R)$) para realizar el cambio de coordenadas $$ ds^{2}=g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}=g_{\mu\nu}\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\rho}}\frac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\sigma}}dx'^{\rho}dx'^{\sigma}=g'_{\rho\sigma}dx'^{\rho}dx'^{\sigma} $$

He intentado también el uso de la inversa del Jacobiano como se sugiere en http://physics.stackexchange.com/a/43084 pero al final siempre me necesitan, al menos, a cambio de la variable $r^2$ en la parte angular de (1).

¿Tiene usted alguna idea acerca de cómo lidiar con ella o cómo invertir (2) ?

Answer 1

Si me tome la (corregido) fórmula :

$$R= 2M + \sqrt{r(r-2M)}+2M\ln \left[ \sqrt{\frac{r}{2M} -1} + \sqrt{\frac{r}{2M}} \right] \tag{1}$$

Usted tiene (si no hay error) : $dR = \dfrac{dr}{\sqrt{ 1 - \dfrac{2M}{r}}}$, lo $dR^2 = \dfrac{dr^2}{f(r)}$, y esto simplifica su métricas.

Sin embargo, usted no puede invertir la fórmula de $(1)$ conseguir $r$ como una función explícita de $R$. Usted simplemente escribir las métricas :

$$ds^2 = dR^2 + (r(R))^2 \left( d\theta^2 + \sin ^2 \theta \ d\phi\right) \tag{2}$$ donde $r(R)$ está implícitamente definido por la ecuación $(1)$