Deje $A$ ser un cuadrado de la matriz, y supongamos que existe un $n\in \Bbb N$ en una manera que $A^n=0$. Mostrar que $I-A$ es invertible y que $(I-A)^{-1}=I+A+\cdots+A^{n-1}$
No tengo una idea de por dónde empezar.
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Jim Petkus
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Set $B:=I+A+\ldots+A^{n-1}$ y calcular el $(I-A)B$ por la expansión del producto: $$ (I-A)B=(I-A)(I+A+\ldots+A^{n-1})=I+A+\ldots+A^{n-1}-(I+A+\ldots+A^{n-1}) $$ $$ =I+A+\ldots+A^{n-1}-a-a^2-\ldots-A^{n-1}-A^n=\;? $$
Observar la política de cancelación: usted se queda con $I$. Esto es suficiente para mostrar que $I-A$ es invertible con inverse $B$. Esto es por el rango-nulidad teorema: una matriz cuadrada es derecho invertible si y sólo si a es invertible. O usted puede observar que el $B$ $I-A$ viaje, por lo $(I-A)B=I$ rendimientos también se $B(I-A)=I$.
Brian Hinchey
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Bien wenn $A^n=0$ luego nos konw que cada autovalor de a $A$ es cero, teniendo jordannormalform uno ve que $I-A$ es invertible causa es similar a una matriz triangular con cada valor de 1 en la diagonal. Después de hacer algo como el geommetric de la serie
$$\frac{1}{1-x}= 1+x+x^2+\dots$$ ahora tenemos las matrices pero es esencialmente la misma que dar syou $$(I-A)^{-1}=1+ A +A^2 + \dots+ A^{n-1} + \underbrace{A^n}_{=0}+\dots$$ Pero como todos los $A^k$ $k\geq n$ es cero es finito.
Como Git mencionado es innecesarios para ir a infty
Incluso podemos tomar la serie geométrica finita que dice que $$\sum_{i=0}^{n-1} x^i = \frac{x^n -1}{x-1}=\frac{1-x^n}{1-x}$$
Tenemos $$(I-A)^{-1}= (I-A^n) \cdot (I-A)^{-1} = \sum_{i=0}^{n-1} A^i = I + A + A^2 + \dots + A^{n-1}$$
¿Cómo puede controlar una matriz de $B$ es la inversa de la matriz de $A$? Usted multiplicar juntos y ver si se obtiene la matriz identidad. Esto es sólo la definición de matriz inversa.
Tiene una matriz $I-A$ y quieres comprobar que su inversa es $1+A+A^2+...+A^{n-1}$ que $A^n=0$.
Así se multiplican entre sí y después de hacer un montón de cancelaciones, etc usted consigue $I - A^n = I$, que es lo que buscábamos!
