la división de campo de la $x^8-1$ $\mathbb F_3$

Question

Supongamos $F=\mathbb F_3$$f(x)=x^8-1$$F[x]$.
Traté de encontrar el grupo de Galois de la división de campo de la $f(x)$ $F$ y yo no estoy tan seguro de si lo que hacía era correcto.
Empecé a buscar en \begin{equation*}g(x)=x^{3^2}-x=xf(x)\end{ecuación*} $g(x)$ $f(x)$ tienen las mismas raíces, además de a $0$, pero desde $0\in F$ de su división de campo es el mismo.
Se sabe que la división de campo de la $g(x)$ es isomorfo al campo con $3^2$ elementos y, por tanto, la división de campo de la $f(x)$$\mathbb F_{3^2}$. Otro hecho común es que para un primer $p$ y $n\in \mathbb N$ \begin{equation*}\textrm{Gal}(\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p)\cong C_n\end{ecuación*} donde la Frobenius homomorphism genera el grupo.
la conclusión es que la \begin{equation*}\textrm{Gal}(\mathbb F_{3^2}/\mathbb F_3)\cong C_2\end{ecuación*}La parte que más me molesta es que me examinó la división de campo de la $g(x)$ en lugar de la construcción de la división de campo de la $f(x)$ mediante la adición de $8$-th raíces de la identidad a $F$.

Answer 1

No hay nada de malo, porque la división de campo de la $x^8-1$ es la misma que la división de campo de la $x^9-x$: estamos añadiendo una raíz que está en el campo. Esto es conocido por ser el campo con nueve elementos.

Usted puede factorizar el polinomio como $$ x^8-1=(x^4-1)(x^4+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1) $$ y tenga en cuenta que $$ x^4+1=x^4-2x^2+1-x^2=(x^2-1)^2-x^2=(x^2-x-1)(x^2+x-1) $$ Si queremos añadir un root$i$$x^2+1$, lo $i^2=2=-1$, también tenemos raíces de $x^2-x-1$$x^2+x-1$, como se puede ver fácilmente. Así que la división de campo de la es $\mathbb{F}_3[i]$.