El siguiente texto es del libro: la Negociación y los Mercados por Osborne y Rubinstein, Academic Press Inc.
Página 17 en el capítulo El Enfoque Axiomático: Nash Soluciones:.
Dos individuos pueden dividir un dólar de la manera que quiera. Si no estar de acuerdo en una división, el dólar se pierde. Los individuos pueden, si se desea, de deshacerse de algunos de los dólares. En términos de nuestro modelo, ha $A = \{(a_1, a_2) \in \mathbb R^2: a_1 + a_2 \le 1$ e $a_i > \ge 0$ for $i = 1, 2\}$ (todas las posibles divisiones del dólar), y $D = (0, 0)$ (ningún jugador recibe ningún tipo de pago en el caso de desacuerdo). Cada jugador sólo le preocupa acerca de la proporción de la dólar que recibe: el Jugador $i$ prefiere $a \in A$ $b \in A$si y sólo si $a_i \gt b_i (i = 1, 2)$.
Por lo tanto, el Jugador $i's$ preferencias sobre loterías en $A$ puede ser representado por el valor esperado de una función de utilidad $u_i$ con el dominio $[0, 1]$.
Mi pregunta: En la última línea lo bueno que hace servir por el uso de "valor esperado" en la línea:
el valor esperado de la función de utilidad de $u_i$ dominio $[0,1]$
En su lugar, ¿qué vamos a perder si nos acaba de escribir: "...representada por la función de utilidad de $u_i$ con dominio $[0, 1]$."$?$ (yo.e nos caída de valor esperado)
EDIT 1:
(añadido después de leer @Shane 's respuesta)
En la pregunta de arriba
Set $A = \{(a_1, a_2) \in \mathbb R^2: a_1 + a_2 \le 1$ $a_i \ge 0$ para $i = 1, 2\}$, $D=(0,0) \in A$, $D$ es el desacuerdo evento. Para cada Jugador $i$ hay una función de $u_i:A \cup \{D\} \to \mathbb R$ , llamada función de utilidad, de tal manera que uno de lotería es preferido a otro si y sólo si la utilidad esperada de la primera supera de la segunda.
Aquí no soy capaz de visualizar una lotería $L$ como se menciona en la respuesta por @Shane. ¿Qué va esto de la lotería? A la hora de calcular el valor esperado, el que todos los elementos de a $A$ vamos a tomar en consideración (desde $A$ es no numerable conjunto infinito)?
PS: está tomada de la famosa, Nash Axiomática de Negociación de la Teoría.
EDIT 2:
@Shane
Yo sé acerca de vNM utilidad teorema. El problema es que yo no soy capaz de aplicarlo aquí. Aquí $A = \{(a_1, a_2) \in \mathbb R^2: a_1 + a_2 \le 1$$a_i \ge 0 \}$. Por lo $A$ tiene infinitos elementos. Un típico $A$ se vería $\{(0.1,0.9),(0.2,0.4),(0.5,0.1),(0,0)...\}$. Se tiene infinitos elementos. En este ejemplo en particular que nos llame a $p=(0.1,0.9),q=(0.2,0.4),r=(0.5,0.1),s=(0,0)$. Así que para el Agente $1$, $r\succ q \succ p \succ s $ desde $r_1\gt q_1 \gt p_1 \gt s_1$. (Si hay que elegir entre las cuatro alternativas).
Aquí, Nash dice que
cada jugador de la preferencia de ser definidas en un conjunto de loterías más posibles acuerdos y no sólo en el conjunto de los acuerdos mismos.
Aún más:
uno de lotería es preferible a otra si y sólo si la espera utilidad de la primera supera a la segunda.
Digamos que $u_i(a)=a_i$ donde $a \in A$ $i=1,2$
Así que si me intentan construir una lotería ,
decir $L=t_1 \cdot p+t_2\cdot q+t_3\cdot r+t_4\cdot s$ donde $\Sigma t_i = 1$ $M=x_1\cdot p+x_2\cdot q+x_3\cdot r+x_4\cdot s$ donde$\Sigma x_i = 1$$p,q,r,s \in A$.
Por vNM, para el agente 1, $L \succ M$ fib $t_1u_1(p)+t_2u_1(q)+t_3u_1(r)+t_4u_1(s) \gt x_1u_1(p)+x_2u_1(q)+x_3u_1(r)+x_4u_1(s)$
O, $t_1p_1+t_2q_1+t_3r_1+t_4s_1 \gt x_1p_1+x_2q_1+x_3r_1+x_4s_1$
A la derecha?
Mis dudas:
aquí me cogió $4$ elementos de $A$. Pero hay infinidad de tales elementos en $A$. Entonces, ¿cómo se me ocurre una lotería? Me refiero a que no vamos a conseguir ese $t_i $ o $x_i $ tal que $\Sigma t_i = 1$ o $\Sigma x_i = 1$.
EDICIÓN 3
Nuestro acuerdo es, como de costumbre $A=\{a_1, a_2, a_3 \cdot \cdot \cdot\}$ donde $a_k$s son diversos acuerdos sobre el cual los dos agentes que pueden alcanzar. Si los dos agentes no llegar a un acuerdo desacuerdo evento $D=(d_1,d_2)$ se invoca. Vamos a un elemento general del conjunto $A$ se denota por a $a$. Por ejemplo en el caso de nuestro "dividir el dólar juego de" el acuerdo conjunto, $A = \{(a_1, a_2) \in \mathbb R^2: a_1 + a_2 \le 1$$a_i \ge 0$$i = 1, 2\}$. Aquí $D=(0,0)$
Ahora el texto (en el mencionado libro) dice:
Denotar por $p \cdot a$ la lotería en la que el acuerdo de $a \in A$ es llegó con una probabilidad de $ p \in [0, 1]$ y el desacuerdo evento $D= (d_1,d_2)$ ocurre con una probabilidad de $1 – p$. Deje $\succcurlyeq _i$ ser el Jugador $i'$s de la preferencia de un pedido de loterías de la forma $p \cdot a$, y deje $\succ _i$ denotar preferencia estricta. Considere la posibilidad de un acuerdo de $a^*$ con la propiedad de que para$(i, j) = (1, 2)$$(i, j) = (2, 1)$, para cada $a \in A$ $p \in [0, 1]$ que $p \cdot a \succ_i a^*$ tenemos $p \cdot a^* \succcurlyeq_j a$.
Mi duda es: ¿cómo podemos construir una lotería, como $p \cdot a$ donde la suma de las probabilidades es no es igual a 1. No debe(la lotería) ser algo como $p \cdot a + (1-p) \cdot D$ ?
