Me encontré con este artículo, de H. Vic Dannon, donde argumenta que la cardinalidad de un conjunto de potencias no es necesariamente mayor que la cardinalidad del conjunto, y el problema surge cuando uno empieza a aplicar propiedades de conjuntos finitos a conjuntos infinitos. Pero ese no es el punto que me preocupa... En las páginas 4-5 describe una supuesta inyección de reales a racionales, más precisamente de (0, 1) a racionales. No soy muy bueno en matemáticas, así que al leer la descripción no pude encontrar el error. ¿Podría alguien explicar dónde está su fallo (supongo que hay uno)? Muchas gracias.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El problema con ese argumento es que su "lista de diccionario de los números reales" incluye sólo las secuencias que son $0$ a partir de algún momento. En otras palabras, sólo recibe el llamado racionales diádicos en $(0,1)$ , las que se pueden escribir como una fracción cuyo denominador es una potencia de $2$ . En particular, no incluye $\sqrt2$ A pesar de su afirmación de lo contrario. Dado que sólo enumera un número contable de los números reales, no es de extrañar que sea capaz de encontrar una inyección de ellos en los racionales. De hecho, podría haber dejado simplemente que $f(x)=x$ para cada $x$ en su lista, y $f$ ¡habría sido una inyección de su lista en los racionales!
El ensayo es una muestra bastante triste de que el alcance de alguien supera con creces su comprensión: es evidente que el autor entiende muy poco de las matemáticas que intenta aplicar a un problema inexistente.
