Entender las integrales iteradas

Question

Me he encontrado con integrales iteradas en documentos que tratan de valores multizeta, polilogaritmos, etc. Desde entonces estoy tratando de averiguar las motivaciones y el propósito de la teoría.

Parece que las definiciones y los métodos se remontan a K.-T. Chen. Las integrales parecen converger como una serie exponencial. Publicó muchos trabajos sobre este tema. Algunos de ellos (como se ve en sus trabajos recopilados) parecen estar relacionados con los espacios de trayectorias, los espacios de bucles, etc., y su homología/cohomología. Muchas nociones de topología algebraica parecen llevarse a cabo en este contexto utilizando la herramienta analítica de la integral iterada. Lo denomina "aproximación teórica de de Rham" al grupo fundamental, etc. ¿Se trata de una "teoría de homotopía de Rham"? ¿Podemos capturar propiedades topológicas mediante la integración iterada? En particular, tengo en mente el artículo "iterated path integrals" de K.-T. Chen. También hay muchos otros, y algunos de ellos están en los Anales; así que no se puede cuestionar la importancia matemática del tema.

Siento haber hecho una pregunta vaga. Soy un principiante en un tema que lucha por entender los conceptos y las motivaciones que hay detrás. Agradeceré cualquier indicación para comprender mejor, para poder empezar.

Answer 1

La teoría de la integral iterada da una estructura mixta de Hodge sobre la homotopía racional de una variedad. En el caso del grupo fundamental, hasta donde yo sé, sólo se puede detectar la terminación nilpotente del grupo fundamental. (Al menos, ésta es la única parte de $\pi_1$ que la gente trabaja en un contexto motivacional --- véase, por ejemplo, el artículo de Deligne sobre la esfera tres veces perforada, muchos artículos de Dick Hain, y quizás el artículo original de Sullivan de 1977 sobre la teoría racional de la homotopía).

Véase el trabajo reciente de Minhyong Kim para la aplicación de estas ideas al estudio de puntos racionales en curvas sobre campos numéricos.

Answer 2

Como menciona Emerton, las integrales iteradas sólo funcionan bien para representaciones unipotentes de $\pi_1(X,x)$ .

La razón es que las formas diferenciales son objetos abelianos: para los caminos $\gamma_i$ y una forma 1 cerrada $\alpha \in \Omega^1(X)$ , $$ \int_{\gamma_1\gamma_2} \alpha = \int_{\gamma_1} \alpha + \int_{\gamma_2} \alpha = \int_{\gamma_2\gamma_1} \alpha $$ Eso y la invariabilidad de la homotopía implica que la integración induce un emparejamiento
$$ \int: H^1(\Omega(X)) \otimes \mathbb{Q} [\pi_1(X,x)]^{ab} \to \mathbb{C} $$ donde $\mathbb{Q}[\pi_1(X,x)]^{ab} = H_1(X;\mathbb{Q})$ .

Al considerar las integrales iteradas, podemos ir un paso más allá. El emparejamiento anterior tiene una generalización como
$$ \int: H^0(Ch^{\leq n}(X)) \otimes \mathbb{Q}[\pi_1(X,x)]/J_x^{n+1} \to \mathbb{C} $$ donde $Ch^{\leq n}(X)$ es la longitud $\leq n$ parte de la compleja y $J$ es el ideal de aumento generado por el $(\gamma-1)$ . Así que las integrales iteradas describen la terminación pro-unipotente (Malcev) $\pi_1^{uni}(X,x)$ de $\pi_1(X,x)$ . Y $\varinjlim_n H^0(Ch^{\leq n}(X))$ puede considerarse como el álgebra de Hopf de las funciones sobre el grupo fundamental (pro-unipotente) de Rham. También se puede definir una filtración de Hodge y de pesos y obtener una estructura de Hodge pro-mixta sobre $\varprojlim \mathbb{Q}[\pi_1(X,x)]/J^n$ .

Esto permite extender la correspondencia entre los sistemas locales unipotentes y las representaciones unipotentes el grupo fundamental al entorno de Rham e incluso al de Hodge o motivacional. Por supuesto, hay condiciones técnicas para que las cosas vayan bien. Básicamente se necesita $X$ para ser un unipotente $K(\pi,1)$ en el sentido de que $H^i (\pi_1^{uni}(X,x),\mathbb{Q}) \to H^i(X,\mathbb{Q})$ es un isomorfismo. En el lenguaje de la teoría racional de la homotopía esto corresponde a la 1-minimalidad.

PD: No está claro cómo proceder para ir más allá del escenario unipotente. Creo que Hain, Matsumoto y Terasoma tienen una generalización de la construcción de la barra que funciona para "terminaciones relativas" más generales, pero todavía no se ha publicado nada.

Answer 3

Un significado topológico de estas integrales iteradas es que pueden utilizarse para modelar el complejo de barras en las co-cadenas de Rham de una variedad, y por lo tanto, en cierto sentido, el "complejo de Rham" del espacio de bucles de la variedad, ya que $H_*(Bar(\Lambda^* X)) \cong H^*(\Omega X)$ [Aquí estoy usando $\Lambda$ para el complejo de Rham y $\Omega X$ para denotar los bucles]. Para un espacio simplemente conectado, este complejo de barras da una forma razonable de codificar el tipo de homotopía racional, aunque los modelos de Sullivan han sido más populares. Así, en particular, se puede entender un conjunto completo de funcionales de homotopía (es decir, el dual lineal de los grupos de homotopía) utilizando integrales iteradas: Milnor y Moore demostraron que $\pi_*(X) \otimes {\mathbb Q}$ es isomorfa al álgebra de Lie de los indecomponibles de $H_*(\Omega X; {\mathbb Q})$ por lo que el dual lineal de la homotopía es la "álgebra de Lie de coindecomposibles" de la cohomología racional del espacio de bucles de $X$ (de nuevo, dado por las integrales de Chen, si se desea). Chen demostró desde el principio que estas integrales dan información sobre $\pi_1$ también (a través de su terminación nilpotente).

Mi coautor Ben Walter y yo hemos desarrollado un modelo para los tipos racionales de homotopía que se aproxima a los modelos de Chen y Quillen (y es compatible también con el modelo de Sullivan), y hemos aclarado también la historia de los funcionales en los grupos de homotopía. Gracias al trabajo de Chen, sabemos que tendremos mucha información que extraer en el entorno no simplemente conectado.