Encontrar $A,B\in\Bbb K^{2\times 2}$ tal que $AB\neq BA$ pero $e^{A+B}=e^Ae^B$

Question

Encontrar $A,B\in\Bbb K^{2\times 2}$ tal que $AB\neq BA$ pero $e^{A+B}=e^Ae^B$. Sugerencia: $e^{2k\pi i}=1$ todos los $k\in\Bbb Z$.

Este es el ejercicio 10 de la página 146 de Análisis II de Amann y Escher. No sé exactamente qué hacer aquí más que intentar hacer las cosas a ciegas (tratando de adivinar lo que es la idea).

Sé que

$$A:=\begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}\implies e^A=\begin{cases}\begin{bmatrix}e^{a}&\frac{b}{c-a}(e^{c}-e^{a})\\0&e^{c}\end{bmatrix},& c\neq a\\\begin{bmatrix}e^{a}&be^{a}\\0&e^{a}\end{bmatrix},& c= a\end{cases}\tag1$$

$$A:=\begin{bmatrix}0&-\omega\\\omega&0\end{bmatrix}\implies e^{A}=\begin{bmatrix}\cos \omega&-\sin\omega \\\sin\omega &\cos\omega \end{bmatrix}\tag2$$

Lo que yo pensaba acerca de la sugerencia de la instalación de algunas matrices como en $(1)$ tal que $i(A+B)=i2\pi I$, por ejemplo

$$A:=\begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix},\quad B:=\begin{bmatrix}2\pi-a&-b\\0&2\pi-c\end{bmatrix}\implies e^{i(A+B)}=I$$

Sin embargo, tenemos que $AB=BA$, entonces tengo que encontrar otra manera. La ayuda será apreciada, gracias.

Answer 1

E. g. $$ A=\pmatrix{0&2\pi\\ -8\pi&0}, \ B=\pmatrix{0&8\pi\\ -2\pi&0}. $$ La clave está en que, desde la $e^{2k\pi i}=1$, es suficiente para generar dos matrices $A$$B$, de modo que $A,B$ $A+B$ son similares a múltiplos enteros de $J=\pmatrix{0&2\pi\\ -2\pi&0}$. Si $A$ $B$ son elegidos al azar, por lo general, no conmutan.

Por ejemplo, si tomamos $$ A=\pmatrix{0&2a\pi\\ -2b\pi&0}, \ B=\pmatrix{0&2c\pi\\ -2d\pi&0}, $$ para algunos $a,b,c,d\in\mathbb N$, $A$ $B$ son similares a $\sqrt{ab}J$$\sqrt{cd}J$, respectivamente, y, por tanto, $e^A=e^B=I$ al $ab$ $cd$ son cuadrados perfectos. Del mismo modo, si $(a+c)(b+d)$ también es un cuadrado perfecto, entonces $e^{A+B}=I=e^Ae^B$. Por último, si $(a,b)$ $(c,d)$ son linealmente independientes, entonces $AB\ne BA$. Así, se puede generar un montón de ejemplos utilizando una simple Octave/Matlab script:

for a=1:10,for b=1:10,for c=1:10,for d=1:10,
  if det([a b;c d])~=0
    && abs(sqrt(a*b)-floor(sqrt(a*b)))<1e-6
    && abs(sqrt(c*d)-floor(sqrt(c*d)))<1e-6
    && abs(sqrt((a+c)*(b+d))-floor(sqrt((a+c)*(b+d))))<1e-6,
    sprintf("%d %d %d %d", a,b,c,d),
  end;
end;end;end;end