Cómo resolver esta ecuación $x^{2}=2^{x}$?

Question

Cómo resolver esta ecuación $$x^{2}=2^{x}$$

donde $x \in \mathbb{R}$.

Por tentativa de erro consegui descobri que $2$ é uma solução, mas não encontrei um método pra isso. Alguma sugestão?(*)

(Traducción: probando diferentes valores que he encontrado que $2$ es una solución, pero no podía encontrar ningún método para esto, sin embargo. Alguna sugerencia? )

Answer 1

La ecuación puede ser escrita $x\log2=2\log|x|$. Vamos a considerar la función $$ f(x)=x\log 2-2\log|x| $$ definido por $x\ne0$. Hemos fácilmente $$ \lim_{x\a\infty}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty $$ y $$ \lim_{x\to0}f(x)=\infty. $$ Por otra parte $$ f'(x)=\log 2-\frac{2}{x}=\frac{x\log 2-2}{x} $$ Set $\alpha=2/\log2$; a continuación, $f'(x)$ es positivo para$x<0$$x>\alpha$, mientras que es negativo para $0<x<\alpha$.

Por lo tanto la función es creciente en $(-\infty,0)$, que representa una solución en este intervalo. En el intervalo de $(0,\infty)$ la función tiene un mínimo en $\alpha$ y $$ f(\alpha)=\frac{2}{\log 2}\log 2-2\log\frac{2}{\log 2} =2(1-\log 2+\log\log 2)\aprox-0.85 $$ Desde el mínimo es negativo, esto representa dos soluciones en $(0,\infty)$, lo que claramente se $x=2$$x=4$.

Answer 2

Trate de hacer esto, primero supongamos $x > 0$, luego de tomar $x<0$.

$$\begin{align}x^2 = 2^x &\Rightarrow (x^2)^{\frac{1}{2}} = (2^x)^\frac{1}{2} \Rightarrow x= 2^\frac{x}{2} \\ & \Rightarrow x \ e^{-x\frac{\ln\ 2}{2}} = 1 \Rightarrow -x \frac{\ln\ 2}{2}\ e^{-x\frac{\ln\ 2}{2}} = -\frac{\ln \ 2}{2} \\ &\Rightarrow -x \frac{\ln\ 2}{2} = W(-\frac{\ln\ 2}{2}) \Rightarrow x = \frac{2\ W(-\frac{\ln \ 2}{2})}{\ln\ 2}\end{align}$$

Lo que nos da

$x = 2 \\ x = \frac{2\ W(\frac{\ln \ 2}{2})}{\ln\ 2} \approx -0,76666 \\ x= \frac{2\ W(-\frac{\ln \ 2}{2})}{\ln\ 2} \approx 4$

Donde $W$ es la de Lambert de la función.