¿La serie $\sum \frac{x^n}{1+x^n}$ convergen uniformemente en $x\in [0,1)$?

Question

¿La serie $\sum \frac{x^n}{1+x^n}$ convergen uniformemente en $x\in [0,1)$?

No tengo idea de por donde empezar. Podría alguien darme una pista ?

Edit: ¿puedo utilizar algo como esto ?
$$\left|\frac{x^n}{1+x^n}\right|\leq x^n$$ Debido a $x<1$, la serie geométrica $\sum x^n$ converge. Por lo tanto, por la M-test tenemos que la serie converge uniformemente.

Answer 1

Las sumas parciales $S_N(x)=\sum_{n=0}^N \frac{x^n}{1+x^n}$ convergen pointwise en $[0,1)$ $S(x)=\sum_{n\geq 0} \frac{x^n}{1+x^n}$por comparación con la serie geométrica $\sum x^n$.

Ahora $$ S(x)-S_N(x)=\sum_{n\geq N+1} \frac{x^n}{1+x^n}\geq \frac{x^{N+1}}{1+x^{N+1}} $$ para todos los $x\in[0,1)$.

Así que, dejando $x$ tienden a $1$, obtenemos $$ \sup_{[0,1)}S-S_N\geq \frac{1}{2} $$ para todos los $N$.

Por lo tanto la convergencia a $S$ no es uniforme (que por definición es $\sup_{[0,1)}|S-S_N|\longrightarrow 0$$N\rightarrow +\infty$.)

Nota: usted incluso no necesita $S$, se puede hacer simplemente con el criterio de Cauchy, si se utiliza el hecho de que $C([0,1),\mathbb{R})$ es completa cuando está equipado con el uniforme de la norma.

Entonces $$ |S_M(x)-S_N(x)|\geq \frac{x^M}{1+x^M} $$ para todos los $M>N$ y todos los $x\in[0,1)$. Por lo tanto $$ \sup_{[0,1)}|S_M-S_N|\geq \frac{1}{2} $$ y la secuencia no es uniformemente de Cauchy.